Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31119 / 17559
↖ ↑ ↗
← N 63.804319°
W  9.058227°		 ← 269.63 m → N 63.804319°
W  9.052734°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
N 63.801893°
W  9.058227°		 ← 269.65 m →
72 717 m²		 N 63.801893°
W  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474845886230469 y=0.267936706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474845886230469 × 216)
    floor (0.474845886230469 × 65536)
    floor (31119.5)     		tx = 31119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267936706542969 × 216)
    floor (0.267936706542969 × 65536)
    floor (17559.5)     		ty = 17559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31119 / 17559 ti = "16/31119/17559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31119/17559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31119 ÷ 216
    31119 ÷ 65536     		x = 0.474838256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17559 ÷ 216
    17559 ÷ 65536     		y = 0.267929077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474838256835938 × 2 - 1) × π
    -0.050323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15809589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267929077148438 × 2 - 1) × π
    0.464141845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.45814461264287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15809589} λ = -0.15809589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45814461264287))-π/2
    2×atan(4.2979777124459)-π/2
    2×1.34219588092367-π/2
    2.68439176184733-1.57079632675     		φ = 1.11359544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15809589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.058227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11359544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.804319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31119 KachelY 17559 -0.15809589 1.11359544 -9.058227 63.804319
    Oben rechts KachelX + 1 31120 KachelY 17559 -0.15800002 1.11359544 -9.052734 63.804319
    Unten links KachelX 31119 KachelY + 1 17560 -0.15809589 1.11355311 -9.058227 63.801893
    Unten rechts KachelX + 1 31120 KachelY + 1 17560 -0.15800002 1.11355311 -9.052734 63.801893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11359544-1.11355311) × R
    4.23300000000904e-05 × 6371000     		dl = 269.684430000576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11359544-1.11355311) × R
    4.23300000000904e-05 × 6371000     		dr = 269.684430000576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15809589--0.15800002) × cos(1.11359544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441438218689189 × 6371000     		do = 269.625065185936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15809589--0.15800002) × cos(1.11355311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441476200649088 × 6371000     		du = 269.648264102523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11359544)-sin(1.11355311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441438218689189-0.441476200649088)×R²
    abs(-0.15800002--0.15809589)×3.79819598989584e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79819598989584e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79819598989584e-05×40589641000000     		ar = 72716.8102226461m²