Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31119 / 12942
↖ ↑ ↗
← N 73.000121°
W  9.058227°		 ← 178.58 m → N 73.000121°
W  9.052734°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
N 72.998515°
W  9.058227°		 ← 178.59 m →
31 891 m²		 N 72.998515°
W  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474845886230469 y=0.197486877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474845886230469 × 216)
    floor (0.474845886230469 × 65536)
    floor (31119.5)     		tx = 31119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197486877441406 × 216)
    floor (0.197486877441406 × 65536)
    floor (12942.5)     		ty = 12942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31119 / 12942 ti = "16/31119/12942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31119/12942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31119 ÷ 216
    31119 ÷ 65536     		x = 0.474838256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12942 ÷ 216
    12942 ÷ 65536     		y = 0.197479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474838256835938 × 2 - 1) × π
    -0.050323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15809589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197479248046875 × 2 - 1) × π
    0.60504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90079394373447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15809589} λ = -0.15809589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90079394373447))-π/2
    2×atan(6.6912047740544)-π/2
    2×1.42244440075829-π/2
    2.84488880151658-1.57079632675     		φ = 1.27409247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15809589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.058227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27409247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.000121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31119 KachelY 12942 -0.15809589 1.27409247 -9.058227 73.000121
    Oben rechts KachelX + 1 31120 KachelY 12942 -0.15800002 1.27409247 -9.052734 73.000121
    Unten links KachelX 31119 KachelY + 1 12943 -0.15809589 1.27406444 -9.058227 72.998515
    Unten rechts KachelX + 1 31120 KachelY + 1 12943 -0.15800002 1.27406444 -9.052734 72.998515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27409247-1.27406444) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dl = 178.579129999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27409247-1.27406444) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dr = 178.579129999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15809589--0.15800002) × cos(1.27409247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292369681139008 × 6371000     		do = 178.575825558502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15809589--0.15800002) × cos(1.27406444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292396486263801 × 6371000     		du = 178.592197800898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27409247)-sin(1.27406444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292369681139008-0.292396486263801)×R²
    abs(-0.15800002--0.15809589)×2.68051247927503e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68051247927503e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68051247927503e-05×40589641000000     		ar = 31891.3774398287m²