Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31118 / 6768
↖ ↑ ↗
← N 72.019729°
E161.872559°		 ← 377.09 m → N 72.019729°
E161.883545°		 →
↑
377.10 m
↓
↑
377.10 m
↓
N 72.016337°
E161.872559°		 ← 377.16 m →
142 212 m²		 N 72.016337°
E161.883545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949661254882812 y=0.206558227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949661254882812 × 215)
    floor (0.949661254882812 × 32768)
    floor (31118.5)     		tx = 31118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206558227539062 × 215)
    floor (0.206558227539062 × 32768)
    floor (6768.5)     		ty = 6768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31118 / 6768 ti = "15/31118/6768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31118/6768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31118 ÷ 215
    31118 ÷ 32768     		x = 0.94964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6768 ÷ 215
    6768 ÷ 32768     		y = 0.20654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94964599609375 × 2 - 1) × π
    0.8992919921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82520912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20654296875 × 2 - 1) × π
    0.5869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84384490698584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82520912} λ = 2.82520912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84384490698584))-π/2
    2×atan(6.32079446651781)-π/2
    2×1.4138888600628-π/2
    2.8277777201256-1.57079632675     		φ = 1.25698139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82520912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.872559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25698139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.019729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31118 KachelY 6768 2.82520912 1.25698139 161.872559 72.019729
    Oben rechts KachelX + 1 31119 KachelY 6768 2.82540086 1.25698139 161.883545 72.019729
    Unten links KachelX 31118 KachelY + 1 6769 2.82520912 1.25692220 161.872559 72.016337
    Unten rechts KachelX + 1 31119 KachelY + 1 6769 2.82540086 1.25692220 161.883545 72.016337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25698139-1.25692220) × R
    5.91899999999868e-05 × 6371000     		dl = 377.099489999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25698139-1.25692220) × R
    5.91899999999868e-05 × 6371000     		dr = 377.099489999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82520912-2.82540086) × cos(1.25698139) × R
    0.000191739999999996 × 0.30868950013794 × 6371000     		do = 377.087542823326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82520912-2.82540086) × cos(1.25692220) × R
    0.000191739999999996 × 0.308745798927045 × 6371000     		du = 377.156316047029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25698139)-sin(1.25692220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30868950013794-0.308745798927045)×R²
    abs(2.82540086-2.82520912)×5.62987891052358e-05×R²
    0.000191739999999996×5.62987891052358e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.62987891052358e-05×40589641000000     		ar = 142212.487298774m²