Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31117 / 19794
↖ ↑ ↗
← N 57.838903°
W  9.069214°		 ← 325.12 m → N 57.838903°
W  9.063721°		 →
↑
325.18 m
↓
↑
325.18 m
↓
N 57.835979°
W  9.069214°		 ← 325.15 m →
105 727 m²		 N 57.835979°
W  9.063721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474815368652344 y=0.302040100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474815368652344 × 216)
    floor (0.474815368652344 × 65536)
    floor (31117.5)     		tx = 31117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302040100097656 × 216)
    floor (0.302040100097656 × 65536)
    floor (19794.5)     		ty = 19794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31117 / 19794 ti = "16/31117/19794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31117/19794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31117 ÷ 216
    31117 ÷ 65536     		x = 0.474807739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19794 ÷ 216
    19794 ÷ 65536     		y = 0.302032470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474807739257812 × 2 - 1) × π
    -0.050384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15828764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302032470703125 × 2 - 1) × π
    0.39593505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24386667134122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15828764} λ = -0.15828764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24386667134122))-π/2
    2×atan(3.46900105233381)-π/2
    2×1.29013781366481-π/2
    2.58027562732961-1.57079632675     		φ = 1.00947930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15828764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.069214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00947930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.838903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31117 KachelY 19794 -0.15828764 1.00947930 -9.069214 57.838903
    Oben rechts KachelX + 1 31118 KachelY 19794 -0.15819177 1.00947930 -9.063721 57.838903
    Unten links KachelX 31117 KachelY + 1 19795 -0.15828764 1.00942826 -9.069214 57.835979
    Unten rechts KachelX + 1 31118 KachelY + 1 19795 -0.15819177 1.00942826 -9.063721 57.835979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00947930-1.00942826) × R
    5.10400000000022e-05 × 6371000     		dl = 325.175840000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00947930-1.00942826) × R
    5.10400000000022e-05 × 6371000     		dr = 325.175840000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15828764--0.15819177) × cos(1.00947930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.532301594594627 × 6371000     		do = 325.123303929889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15828764--0.15819177) × cos(1.00942826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.532344802057743 × 6371000     		du = 325.149694519933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00947930)-sin(1.00942826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532301594594627-0.532344802057743)×R²
    abs(-0.15819177--0.15828764)×4.3207463115924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3207463115924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3207463115924e-05×40589641000000     		ar = 105726.534272973m²