Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31117 / 17563
↖ ↑ ↗
← N 63.794617°
W  9.069214°		 ← 269.72 m → N 63.794617°
W  9.063721°		 →
↑
269.75 m
↓
↑
269.75 m
↓
N 63.792192°
W  9.069214°		 ← 269.74 m →
72 759 m²		 N 63.792192°
W  9.063721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474815368652344 y=0.267997741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474815368652344 × 216)
    floor (0.474815368652344 × 65536)
    floor (31117.5)     		tx = 31117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267997741699219 × 216)
    floor (0.267997741699219 × 65536)
    floor (17563.5)     		ty = 17563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31117 / 17563 ti = "16/31117/17563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31117/17563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31117 ÷ 216
    31117 ÷ 65536     		x = 0.474807739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17563 ÷ 216
    17563 ÷ 65536     		y = 0.267990112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474807739257812 × 2 - 1) × π
    -0.050384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15828764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267990112304688 × 2 - 1) × π
    0.464019775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45776111744591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15828764} λ = -0.15828764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45776111744591))-π/2
    2×atan(4.29632977464485)-π/2
    2×1.34211122163982-π/2
    2.68422244327963-1.57079632675     		φ = 1.11342612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15828764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.069214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11342612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.794617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31117 KachelY 17563 -0.15828764 1.11342612 -9.069214 63.794617
    Oben rechts KachelX + 1 31118 KachelY 17563 -0.15819177 1.11342612 -9.063721 63.794617
    Unten links KachelX 31117 KachelY + 1 17564 -0.15828764 1.11338378 -9.069214 63.792192
    Unten rechts KachelX + 1 31118 KachelY + 1 17564 -0.15819177 1.11338378 -9.063721 63.792192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11342612-1.11338378) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dl = 269.748140000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11342612-1.11338378) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dr = 269.748140000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15828764--0.15819177) × cos(1.11342612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441590141782213 × 6371000     		do = 269.717857953136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15828764--0.15819177) × cos(1.11338378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441628129549486 × 6371000     		du = 269.741060416796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11342612)-sin(1.11338378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441590141782213-0.441628129549486)×R²
    abs(-0.15819177--0.15828764)×3.7987767273262e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7987767273262e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7987767273262e-05×40589641000000     		ar = 72759.0199295979m²