Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31117 / 12943
↖ ↑ ↗
← N 72.998515°
W  9.069214°		 ← 178.59 m → N 72.998515°
W  9.063721°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
N 72.996909°
W  9.069214°		 ← 178.61 m →
31 894 m²		 N 72.996909°
W  9.063721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474815368652344 y=0.197502136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474815368652344 × 216)
    floor (0.474815368652344 × 65536)
    floor (31117.5)     		tx = 31117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197502136230469 × 216)
    floor (0.197502136230469 × 65536)
    floor (12943.5)     		ty = 12943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31117 / 12943 ti = "16/31117/12943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31117/12943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31117 ÷ 216
    31117 ÷ 65536     		x = 0.474807739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12943 ÷ 216
    12943 ÷ 65536     		y = 0.197494506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474807739257812 × 2 - 1) × π
    -0.050384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15828764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197494506835938 × 2 - 1) × π
    0.605010986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90069806993523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15828764} λ = -0.15828764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90069806993523))-π/2
    2×atan(6.69056329358229)-π/2
    2×1.42243038481994-π/2
    2.84486076963988-1.57079632675     		φ = 1.27406444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15828764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.069214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27406444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.998515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31117 KachelY 12943 -0.15828764 1.27406444 -9.069214 72.998515
    Oben rechts KachelX + 1 31118 KachelY 12943 -0.15819177 1.27406444 -9.063721 72.998515
    Unten links KachelX 31117 KachelY + 1 12944 -0.15828764 1.27403641 -9.069214 72.996909
    Unten rechts KachelX + 1 31118 KachelY + 1 12944 -0.15819177 1.27403641 -9.063721 72.996909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27406444-1.27403641) × R
    2.80300000001787e-05 × 6371000     		dl = 178.579130001139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27406444-1.27403641) × R
    2.80300000001787e-05 × 6371000     		dr = 178.579130001139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15828764--0.15819177) × cos(1.27406444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292396486263801 × 6371000     		do = 178.592197800898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15828764--0.15819177) × cos(1.27403641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292423291158863 × 6371000     		du = 178.608569902979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27406444)-sin(1.27403641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292396486263801-0.292423291158863)×R²
    abs(-0.15819177--0.15828764)×2.68048950626265e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68048950626265e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68048950626265e-05×40589641000000     		ar = 31894.3011681143m²