Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31116 / 19548
↖ ↑ ↗
← N 58.551061°
W  9.074707°		 ← 318.70 m → N 58.551061°
W  9.069214°		 →
↑
318.68 m
↓
↑
318.68 m
↓
N 58.548195°
W  9.074707°		 ← 318.73 m →
101 568 m²		 N 58.548195°
W  9.069214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474800109863281 y=0.298286437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474800109863281 × 216)
    floor (0.474800109863281 × 65536)
    floor (31116.5)     		tx = 31116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298286437988281 × 216)
    floor (0.298286437988281 × 65536)
    floor (19548.5)     		ty = 19548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31116 / 19548 ti = "16/31116/19548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31116/19548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31116 ÷ 216
    31116 ÷ 65536     		x = 0.47479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19548 ÷ 216
    19548 ÷ 65536     		y = 0.29827880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.0504150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15838352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29827880859375 × 2 - 1) × π
    0.4034423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26745162595428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15838352} λ = -0.15838352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26745162595428))-π/2
    2×atan(3.55178973075208)-π/2
    2×1.29635255759-π/2
    2.59270511518001-1.57079632675     		φ = 1.02190879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15838352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.074707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02190879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.551061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31116 KachelY 19548 -0.15838352 1.02190879 -9.074707 58.551061
    Oben rechts KachelX + 1 31117 KachelY 19548 -0.15828764 1.02190879 -9.069214 58.551061
    Unten links KachelX 31116 KachelY + 1 19549 -0.15838352 1.02185877 -9.074707 58.548195
    Unten rechts KachelX + 1 31117 KachelY + 1 19549 -0.15828764 1.02185877 -9.069214 58.548195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02190879-1.02185877) × R
    5.0019999999984e-05 × 6371000     		dl = 318.677419999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02190879-1.02185877) × R
    5.0019999999984e-05 × 6371000     		dr = 318.677419999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15838352--0.15828764) × cos(1.02190879) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.52173850353191 × 6371000     		do = 318.704737055428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15838352--0.15828764) × cos(1.02185877) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.521781175214543 × 6371000     		du = 318.730803115918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02190879)-sin(1.02185877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52173850353191-0.521781175214543)×R²
    abs(-0.15828764--0.15838352)×4.26716826323892e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.26716826323892e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.26716826323892e-05×40589641000000     		ar = 101568.156700425m²