Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31116 / 14740
↖ ↑ ↗
← N 79.987622°
W 94.537353°		 ← 53.09 m → N 79.987622°
W 94.534607°		 →
↑
53.07 m
↓
↑
53.07 m
↓
N 79.987145°
W 94.537353°		 ← 53.09 m →
2 818 m²		 N 79.987145°
W 94.534607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.237400054931641 y=0.112461090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.237400054931641 × 217)
    floor (0.237400054931641 × 131072)
    floor (31116.5)     		tx = 31116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112461090087891 × 217)
    floor (0.112461090087891 × 131072)
    floor (14740.5)     		ty = 14740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31116 / 14740 ti = "17/31116/14740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31116/14740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31116 ÷ 217
    31116 ÷ 131072     		x = 0.237396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14740 ÷ 217
    14740 ÷ 131072     		y = 0.112457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.237396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.52520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.64998808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112457275390625 × 2 - 1) × π
    0.77508544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43500275310037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.64998808} λ = -1.64998808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43500275310037))-π/2
    2×atan(11.415850142305)-π/2
    2×1.48342184963926-π/2
    2.96684369927853-1.57079632675     		φ = 1.39604737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.64998808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -94.537353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39604737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.987622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31116 KachelY 14740 -1.64998808 1.39604737 -94.537353 79.987622
    Oben rechts KachelX + 1 31117 KachelY 14740 -1.64994015 1.39604737 -94.534607 79.987622
    Unten links KachelX 31116 KachelY + 1 14741 -1.64998808 1.39603904 -94.537353 79.987145
    Unten rechts KachelX + 1 31117 KachelY + 1 14741 -1.64994015 1.39603904 -94.534607 79.987145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39604737-1.39603904) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dl = 53.0704300000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39604737-1.39603904) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dr = 53.0704300000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.64998808--1.64994015) × cos(1.39604737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173860923203334 × 6371000     		do = 53.0905244470766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.64998808--1.64994015) × cos(1.39603904) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173869126333206 × 6371000     		du = 53.0930293714666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39604737)-sin(1.39603904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173860923203334-0.173869126333206)×R²
    abs(-1.64994015--1.64998808)×8.20312987168115e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.20312987168115e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.20312987168115e-06×40589641000000     		ar = 2817.6034299857m²