Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31114 / 19838
↖ ↑ ↗
← N 57.710017°
W  9.085693°		 ← 326.29 m → N 57.710017°
W  9.080200°		 →
↑
326.32 m
↓
↑
326.32 m
↓
N 57.707082°
W  9.085693°		 ← 326.31 m →
106 479 m²		 N 57.707082°
W  9.080200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474769592285156 y=0.302711486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474769592285156 × 216)
    floor (0.474769592285156 × 65536)
    floor (31114.5)     		tx = 31114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302711486816406 × 216)
    floor (0.302711486816406 × 65536)
    floor (19838.5)     		ty = 19838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31114 / 19838 ti = "16/31114/19838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31114/19838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31114 ÷ 216
    31114 ÷ 65536     		x = 0.474761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19838 ÷ 216
    19838 ÷ 65536     		y = 0.302703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.05047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15857526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302703857421875 × 2 - 1) × π
    0.39459228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23964822417465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15857526} λ = -0.15857526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23964822417465))-π/2
    2×atan(3.45439807726853)-π/2
    2×1.28901306440813-π/2
    2.57802612881627-1.57079632675     		φ = 1.00722980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15857526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.085693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00722980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.710017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31114 KachelY 19838 -0.15857526 1.00722980 -9.085693 57.710017
    Oben rechts KachelX + 1 31115 KachelY 19838 -0.15847939 1.00722980 -9.080200 57.710017
    Unten links KachelX 31114 KachelY + 1 19839 -0.15857526 1.00717858 -9.085693 57.707082
    Unten rechts KachelX + 1 31115 KachelY + 1 19839 -0.15847939 1.00717858 -9.080200 57.707082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00722980-1.00717858) × R
    5.12200000000185e-05 × 6371000     		dl = 326.322620000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00722980-1.00717858) × R
    5.12200000000185e-05 × 6371000     		dr = 326.322620000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15857526--0.15847939) × cos(1.00722980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534204571199495 × 6371000     		do = 326.285618766739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15857526--0.15847939) × cos(1.00717858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534247869593957 × 6371000     		du = 326.312064896537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00722980)-sin(1.00717858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534204571199495-0.534247869593957)×R²
    abs(-0.15847939--0.15857526)×4.32983944619325e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32983944619325e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32983944619325e-05×40589641000000     		ar = 106478.692992634m²