Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31114 / 17558
↖ ↑ ↗
← N 63.806744°
W  9.085693°		 ← 269.60 m → N 63.806744°
W  9.080200°		 →
↑
269.62 m
↓
↑
269.62 m
↓
N 63.804319°
W  9.085693°		 ← 269.63 m →
72 693 m²		 N 63.804319°
W  9.080200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474769592285156 y=0.267921447753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474769592285156 × 216)
    floor (0.474769592285156 × 65536)
    floor (31114.5)     		tx = 31114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267921447753906 × 216)
    floor (0.267921447753906 × 65536)
    floor (17558.5)     		ty = 17558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31114 / 17558 ti = "16/31114/17558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31114/17558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31114 ÷ 216
    31114 ÷ 65536     		x = 0.474761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17558 ÷ 216
    17558 ÷ 65536     		y = 0.267913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.05047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15857526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267913818359375 × 2 - 1) × π
    0.46417236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.45824048644211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15857526} λ = -0.15857526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45824048644211))-π/2
    2×atan(4.29838979565192)-π/2
    2×1.34221704119326-π/2
    2.68443408238653-1.57079632675     		φ = 1.11363776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15857526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.085693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11363776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.806744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31114 KachelY 17558 -0.15857526 1.11363776 -9.085693 63.806744
    Oben rechts KachelX + 1 31115 KachelY 17558 -0.15847939 1.11363776 -9.080200 63.806744
    Unten links KachelX 31114 KachelY + 1 17559 -0.15857526 1.11359544 -9.085693 63.804319
    Unten rechts KachelX + 1 31115 KachelY + 1 17559 -0.15847939 1.11359544 -9.080200 63.804319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11363776-1.11359544) × R
    4.23199999999291e-05 × 6371000     		dl = 269.620719999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11363776-1.11359544) × R
    4.23199999999291e-05 × 6371000     		dr = 269.620719999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15857526--0.15847939) × cos(1.11363776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441400244911411 × 6371000     		do = 269.601871266889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15857526--0.15847939) × cos(1.11359544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441438218689189 × 6371000     		du = 269.625065185936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11363776)-sin(1.11359544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441400244911411-0.441438218689189)×R²
    abs(-0.15847939--0.15857526)×3.79737777773115e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79737777773115e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79737777773115e-05×40589641000000     		ar = 72693.3774358654m²