Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31113 / 20028
↖ ↑ ↗
← N 57.148161°
W  9.091187°		 ← 331.37 m → N 57.148161°
W  9.085693°		 →
↑
331.36 m
↓
↑
331.36 m
↓
N 57.145181°
W  9.091187°		 ← 331.39 m →
109 805 m²		 N 57.145181°
W  9.085693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474754333496094 y=0.305610656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474754333496094 × 216)
    floor (0.474754333496094 × 65536)
    floor (31113.5)     		tx = 31113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305610656738281 × 216)
    floor (0.305610656738281 × 65536)
    floor (20028.5)     		ty = 20028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31113 / 20028 ti = "16/31113/20028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31113/20028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31113 ÷ 216
    31113 ÷ 65536     		x = 0.474746704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20028 ÷ 216
    20028 ÷ 65536     		y = 0.30560302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474746704101562 × 2 - 1) × π
    -0.050506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15867114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30560302734375 × 2 - 1) × π
    0.3887939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22143220231903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15867114} λ = -0.15867114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22143220231903))-π/2
    2×atan(3.3920423473131)-π/2
    2×1.28410994634094-π/2
    2.56821989268189-1.57079632675     		φ = 0.99742357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15867114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.091187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99742357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.148161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31113 KachelY 20028 -0.15867114 0.99742357 -9.091187 57.148161
    Oben rechts KachelX + 1 31114 KachelY 20028 -0.15857526 0.99742357 -9.085693 57.148161
    Unten links KachelX 31113 KachelY + 1 20029 -0.15867114 0.99737156 -9.091187 57.145181
    Unten rechts KachelX + 1 31114 KachelY + 1 20029 -0.15857526 0.99737156 -9.085693 57.145181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99742357-0.99737156) × R
    5.20099999999912e-05 × 6371000     		dl = 331.355709999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99742357-0.99737156) × R
    5.20099999999912e-05 × 6371000     		dr = 331.355709999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15867114--0.15857526) × cos(0.99742357) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.542468501298934 × 6371000     		do = 331.367686871811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15867114--0.15857526) × cos(0.99737156) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.542512192925383 × 6371000     		du = 331.394375966491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99742357)-sin(0.99737156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542468501298934-0.542512192925383)×R²
    abs(-0.15857526--0.15867114)×4.36916264491272e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.36916264491272e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.36916264491272e-05×40589641000000     		ar = 109804.996971239m²