Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31113 / 19189
↖ ↑ ↗
← N 59.564941°
W  9.091187°		 ← 309.43 m → N 59.564941°
W  9.085693°		 →
↑
309.44 m
↓
↑
309.44 m
↓
N 59.562158°
W  9.091187°		 ← 309.46 m →
95 755 m²		 N 59.562158°
W  9.085693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474754333496094 y=0.292808532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474754333496094 × 216)
    floor (0.474754333496094 × 65536)
    floor (31113.5)     		tx = 31113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292808532714844 × 216)
    floor (0.292808532714844 × 65536)
    floor (19189.5)     		ty = 19189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31113 / 19189 ti = "16/31113/19189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31113/19189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31113 ÷ 216
    31113 ÷ 65536     		x = 0.474746704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19189 ÷ 216
    19189 ÷ 65536     		y = 0.292800903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474746704101562 × 2 - 1) × π
    -0.050506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15867114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292800903320312 × 2 - 1) × π
    0.414398193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30187031988148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15867114} λ = -0.15867114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30187031988148))-π/2
    2×atan(3.67616584790757)-π/2
    2×1.30520033121193-π/2
    2.61040066242387-1.57079632675     		φ = 1.03960434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15867114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.091187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03960434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.564941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31113 KachelY 19189 -0.15867114 1.03960434 -9.091187 59.564941
    Oben rechts KachelX + 1 31114 KachelY 19189 -0.15857526 1.03960434 -9.085693 59.564941
    Unten links KachelX 31113 KachelY + 1 19190 -0.15867114 1.03955577 -9.091187 59.562158
    Unten rechts KachelX + 1 31114 KachelY + 1 19190 -0.15857526 1.03955577 -9.085693 59.562158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03960434-1.03955577) × R
    4.85699999999145e-05 × 6371000     		dl = 309.439469999455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03960434-1.03955577) × R
    4.85699999999145e-05 × 6371000     		dr = 309.439469999455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15867114--0.15857526) × cos(1.03960434) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.506561436456838 × 6371000     		do = 309.433803170561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15867114--0.15857526) × cos(1.03955577) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.50660331310122 × 6371000     		du = 309.45938358076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03960434)-sin(1.03955577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506561436456838-0.50660331310122)×R²
    abs(-0.15857526--0.15867114)×4.18766443827101e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.18766443827101e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.18766443827101e-05×40589641000000     		ar = 95754.9898660196m²