Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31113 / 19059
↖ ↑ ↗
← N 59.924743°
W  9.091187°		 ← 306.12 m → N 59.924743°
W  9.085693°		 →
↑
306.13 m
↓
↑
306.13 m
↓
N 59.921990°
W  9.091187°		 ← 306.15 m →
93 715 m²		 N 59.921990°
W  9.085693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474754333496094 y=0.290824890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474754333496094 × 216)
    floor (0.474754333496094 × 65536)
    floor (31113.5)     		tx = 31113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290824890136719 × 216)
    floor (0.290824890136719 × 65536)
    floor (19059.5)     		ty = 19059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31113 / 19059 ti = "16/31113/19059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31113/19059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31113 ÷ 216
    31113 ÷ 65536     		x = 0.474746704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19059 ÷ 216
    19059 ÷ 65536     		y = 0.290817260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474746704101562 × 2 - 1) × π
    -0.050506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15867114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290817260742188 × 2 - 1) × π
    0.418365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.3143339137827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15867114} λ = -0.15867114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3143339137827))-π/2
    2×atan(3.72227080605535)-π/2
    2×1.3083401974798-π/2
    2.6166803949596-1.57079632675     		φ = 1.04588407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15867114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.091187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04588407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.924743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31113 KachelY 19059 -0.15867114 1.04588407 -9.091187 59.924743
    Oben rechts KachelX + 1 31114 KachelY 19059 -0.15857526 1.04588407 -9.085693 59.924743
    Unten links KachelX 31113 KachelY + 1 19060 -0.15867114 1.04583602 -9.091187 59.921990
    Unten rechts KachelX + 1 31114 KachelY + 1 19060 -0.15857526 1.04583602 -9.085693 59.921990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04588407-1.04583602) × R
    4.80499999999662e-05 × 6371000     		dl = 306.126549999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04588407-1.04583602) × R
    4.80499999999662e-05 × 6371000     		dr = 306.126549999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15867114--0.15857526) × cos(1.04588407) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.501137076448418 × 6371000     		do = 306.120324831366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15867114--0.15857526) × cos(1.04583602) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.501178656798268 × 6371000     		du = 306.145724249611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04588407)-sin(1.04583602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501137076448418-0.501178656798268)×R²
    abs(-0.15857526--0.15867114)×4.15803498502454e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.15803498502454e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.15803498502454e-05×40589641000000     		ar = 93715.4466615797m²