Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31112 / 6794
↖ ↑ ↗
← N 71.931344°
E161.806641°		 ← 378.90 m → N 71.931344°
E161.817627°		 →
↑
378.95 m
↓
↑
378.95 m
↓
N 71.927936°
E161.806641°		 ← 378.97 m →
143 596 m²		 N 71.927936°
E161.817627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949478149414062 y=0.207351684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949478149414062 × 215)
    floor (0.949478149414062 × 32768)
    floor (31112.5)     		tx = 31112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207351684570312 × 215)
    floor (0.207351684570312 × 32768)
    floor (6794.5)     		ty = 6794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31112 / 6794 ti = "15/31112/6794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31112/6794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31112 ÷ 215
    31112 ÷ 32768     		x = 0.949462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6794 ÷ 215
    6794 ÷ 32768     		y = 0.20733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949462890625 × 2 - 1) × π
    0.89892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82405863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20733642578125 × 2 - 1) × π
    0.5853271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83885946942535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82405863} λ = 2.82405863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83885946942535))-π/2
    2×atan(6.28936096036897)-π/2
    2×1.41311755696115-π/2
    2.8262351139223-1.57079632675     		φ = 1.25543879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82405863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25543879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.931344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31112 KachelY 6794 2.82405863 1.25543879 161.806641 71.931344
    Oben rechts KachelX + 1 31113 KachelY 6794 2.82425038 1.25543879 161.817627 71.931344
    Unten links KachelX 31112 KachelY + 1 6795 2.82405863 1.25537931 161.806641 71.927936
    Unten rechts KachelX + 1 31113 KachelY + 1 6795 2.82425038 1.25537931 161.817627 71.927936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25543879-1.25537931) × R
    5.94800000000006e-05 × 6371000     		dl = 378.947080000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25543879-1.25537931) × R
    5.94800000000006e-05 × 6371000     		dr = 378.947080000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82405863-2.82425038) × cos(1.25543879) × R
    0.000191749999999935 × 0.31015639610796 × 6371000     		do = 378.899227123903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82405863-2.82425038) × cos(1.25537931) × R
    0.000191749999999935 × 0.310212942335637 × 6371000     		du = 378.968306215073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25543879)-sin(1.25537931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31015639610796-0.310212942335637)×R²
    abs(2.82425038-2.82405863)×5.65462276769235e-05×R²
    0.000191749999999935×5.65462276769235e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.65462276769235e-05×40589641000000     		ar = 143595.844435449m²