Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31112 / 6767
↖ ↑ ↗
← N 72.023120°
E161.806641°		 ← 377.04 m → N 72.023120°
E161.817627°		 →
↑
377.10 m
↓
↑
377.10 m
↓
N 72.019729°
E161.806641°		 ← 377.11 m →
142 194 m²		 N 72.019729°
E161.817627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949478149414062 y=0.206527709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949478149414062 × 215)
    floor (0.949478149414062 × 32768)
    floor (31112.5)     		tx = 31112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206527709960938 × 215)
    floor (0.206527709960938 × 32768)
    floor (6767.5)     		ty = 6767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31112 / 6767 ti = "15/31112/6767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31112/6767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31112 ÷ 215
    31112 ÷ 32768     		x = 0.949462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6767 ÷ 215
    6767 ÷ 32768     		y = 0.206512451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949462890625 × 2 - 1) × π
    0.89892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82405863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206512451171875 × 2 - 1) × π
    0.58697509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84403665458432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82405863} λ = 2.82405863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84403665458432))-π/2
    2×atan(6.32200657988346)-π/2
    2×1.41391845259897-π/2
    2.82783690519794-1.57079632675     		φ = 1.25704058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82405863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25704058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.023120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31112 KachelY 6767 2.82405863 1.25704058 161.806641 72.023120
    Oben rechts KachelX + 1 31113 KachelY 6767 2.82425038 1.25704058 161.817627 72.023120
    Unten links KachelX 31112 KachelY + 1 6768 2.82405863 1.25698139 161.806641 72.019729
    Unten rechts KachelX + 1 31113 KachelY + 1 6768 2.82425038 1.25698139 161.817627 72.019729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25704058-1.25698139) × R
    5.91899999999868e-05 × 6371000     		dl = 377.099489999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25704058-1.25698139) × R
    5.91899999999868e-05 × 6371000     		dr = 377.099489999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82405863-2.82425038) × cos(1.25704058) × R
    0.000191749999999935 × 0.308633200267355 × 6371000     		do = 377.038431299583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82405863-2.82425038) × cos(1.25698139) × R
    0.000191749999999935 × 0.30868950013794 × 6371000     		du = 377.10720943126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25704058)-sin(1.25698139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308633200267355-0.30868950013794)×R²
    abs(2.82425038-2.82405863)×5.6299870585419e-05×R²
    0.000191749999999935×5.6299870585419e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.6299870585419e-05×40589641000000     		ar = 142193.968294041m²