Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31112 / 19528
↖ ↑ ↗
← N 58.608334°
W  9.096680°		 ← 318.15 m → N 58.608334°
W  9.091187°		 →
↑
318.17 m
↓
↑
318.17 m
↓
N 58.605472°
W  9.096680°		 ← 318.18 m →
101 229 m²		 N 58.605472°
W  9.091187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474739074707031 y=0.297981262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474739074707031 × 216)
    floor (0.474739074707031 × 65536)
    floor (31112.5)     		tx = 31112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297981262207031 × 216)
    floor (0.297981262207031 × 65536)
    floor (19528.5)     		ty = 19528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31112 / 19528 ti = "16/31112/19528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31112/19528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31112 ÷ 216
    31112 ÷ 65536     		x = 0.4747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19528 ÷ 216
    19528 ÷ 65536     		y = 0.2979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15876701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2979736328125 × 2 - 1) × π
    0.404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26936910193909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15876701} λ = -0.15876701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26936910193909))-π/2
    2×atan(3.558606735897)-π/2
    2×1.29685235913198-π/2
    2.59370471826397-1.57079632675     		φ = 1.02290839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15876701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02290839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.608334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31112 KachelY 19528 -0.15876701 1.02290839 -9.096680 58.608334
    Oben rechts KachelX + 1 31113 KachelY 19528 -0.15867114 1.02290839 -9.091187 58.608334
    Unten links KachelX 31112 KachelY + 1 19529 -0.15876701 1.02285845 -9.096680 58.605472
    Unten rechts KachelX + 1 31113 KachelY + 1 19529 -0.15867114 1.02285845 -9.091187 58.605472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02290839-1.02285845) × R
    4.99400000000261e-05 × 6371000     		dl = 318.167740000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02290839-1.02285845) × R
    4.99400000000261e-05 × 6371000     		dr = 318.167740000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15876701--0.15867114) × cos(1.02290839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.520885478790815 × 6371000     		do = 318.150480016017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15876701--0.15867114) × cos(1.02285845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.52092810825207 × 6371000     		du = 318.176517569593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02290839)-sin(1.02285845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520885478790815-0.52092810825207)×R²
    abs(-0.15867114--0.15876701)×4.26294612545508e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26294612545508e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26294612545508e-05×40589641000000     		ar = 101229.361382202m²