Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31112 / 19060
↖ ↑ ↗
← N 59.921990°
W  9.096680°		 ← 306.11 m → N 59.921990°
W  9.091187°		 →
↑
306.13 m
↓
↑
306.13 m
↓
N 59.919237°
W  9.096680°		 ← 306.14 m →
93 713 m²		 N 59.919237°
W  9.091187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474739074707031 y=0.290840148925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474739074707031 × 216)
    floor (0.474739074707031 × 65536)
    floor (31112.5)     		tx = 31112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290840148925781 × 216)
    floor (0.290840148925781 × 65536)
    floor (19060.5)     		ty = 19060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31112 / 19060 ti = "16/31112/19060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31112/19060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31112 ÷ 216
    31112 ÷ 65536     		x = 0.4747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19060 ÷ 216
    19060 ÷ 65536     		y = 0.29083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15876701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29083251953125 × 2 - 1) × π
    0.4183349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.31423803998346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15876701} λ = -0.15876701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31423803998346))-π/2
    2×atan(3.72191395491799)-π/2
    2×1.30831617352543-π/2
    2.61663234705086-1.57079632675     		φ = 1.04583602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15876701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04583602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.921990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31112 KachelY 19060 -0.15876701 1.04583602 -9.096680 59.921990
    Oben rechts KachelX + 1 31113 KachelY 19060 -0.15867114 1.04583602 -9.091187 59.921990
    Unten links KachelX 31112 KachelY + 1 19061 -0.15876701 1.04578797 -9.096680 59.919237
    Unten rechts KachelX + 1 31113 KachelY + 1 19061 -0.15867114 1.04578797 -9.091187 59.919237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04583602-1.04578797) × R
    4.80500000001882e-05 × 6371000     		dl = 306.126550001199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04583602-1.04578797) × R
    4.80500000001882e-05 × 6371000     		dr = 306.126550001199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15876701--0.15867114) × cos(1.04583602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.501178656798268 × 6371000     		do = 306.113794157403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15876701--0.15867114) × cos(1.04578797) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.501220235990996 × 6371000     		du = 306.139190219807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04583602)-sin(1.04578797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501178656798268-0.501220235990996)×R²
    abs(-0.15867114--0.15876701)×4.15791927278475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.15791927278475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.15791927278475e-05×40589641000000     		ar = 93713.4469358621m²