Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31111 / 6780
↖ ↑ ↗
← N 71.978988°
E161.795654°		 ← 377.93 m → N 71.978988°
E161.806641°		 →
↑
377.99 m
↓
↑
377.99 m
↓
N 71.975588°
E161.795654°		 ← 378 m →
142 869 m²		 N 71.975588°
E161.806641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949447631835938 y=0.206924438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949447631835938 × 215)
    floor (0.949447631835938 × 32768)
    floor (31111.5)     		tx = 31111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206924438476562 × 215)
    floor (0.206924438476562 × 32768)
    floor (6780.5)     		ty = 6780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31111 / 6780 ti = "15/31111/6780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31111/6780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31111 ÷ 215
    31111 ÷ 32768     		x = 0.949432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6780 ÷ 215
    6780 ÷ 32768     		y = 0.2069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949432373046875 × 2 - 1) × π
    0.89886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82386688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2069091796875 × 2 - 1) × π
    0.586181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84154393580408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82386688} λ = 2.82386688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84154393580408))-π/2
    2×atan(6.30626722040135)-π/2
    2×1.41353332835826-π/2
    2.82706665671651-1.57079632675     		φ = 1.25627033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82386688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.795654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25627033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.978988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31111 KachelY 6780 2.82386688 1.25627033 161.795654 71.978988
    Oben rechts KachelX + 1 31112 KachelY 6780 2.82405863 1.25627033 161.806641 71.978988
    Unten links KachelX 31111 KachelY + 1 6781 2.82386688 1.25621100 161.795654 71.975588
    Unten rechts KachelX + 1 31112 KachelY + 1 6781 2.82405863 1.25621100 161.806641 71.975588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25627033-1.25621100) × R
    5.93300000000241e-05 × 6371000     		dl = 377.991430000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25627033-1.25621100) × R
    5.93300000000241e-05 × 6371000     		dr = 377.991430000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82386688-2.82405863) × cos(1.25627033) × R
    0.000191749999999935 × 0.309365755908841 × 6371000     		do = 377.933350024031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82386688-2.82405863) × cos(1.25621100) × R
    0.000191749999999935 × 0.309422174819988 × 6371000     		du = 378.00227358033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25627033)-sin(1.25621100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309365755908841-0.309422174819988)×R²
    abs(2.82405863-2.82386688)×5.64189111469937e-05×R²
    0.000191749999999935×5.64189111469937e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.64189111469937e-05×40589641000000     		ar = 142868.593718593m²