Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31111 / 16949
↖ ↑ ↗
← N 65.245208°
W  9.102173°		 ← 255.79 m → N 65.245208°
W  9.096680°		 →
↑
255.80 m
↓
↑
255.80 m
↓
N 65.242908°
W  9.102173°		 ← 255.81 m →
65 432 m²		 N 65.242908°
W  9.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474723815917969 y=0.258628845214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474723815917969 × 216)
    floor (0.474723815917969 × 65536)
    floor (31111.5)     		tx = 31111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258628845214844 × 216)
    floor (0.258628845214844 × 65536)
    floor (16949.5)     		ty = 16949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31111 / 16949 ti = "16/31111/16949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31111/16949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31111 ÷ 216
    31111 ÷ 65536     		x = 0.474716186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16949 ÷ 216
    16949 ÷ 65536     		y = 0.258621215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474716186523438 × 2 - 1) × π
    -0.050567626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15886289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258621215820312 × 2 - 1) × π
    0.482757568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51662763017934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15886289} λ = -0.15886289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51662763017934))-π/2
    2×atan(4.5568319313587)-π/2
    2×1.35477001443689-π/2
    2.70954002887377-1.57079632675     		φ = 1.13874370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15886289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.102173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13874370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.245208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31111 KachelY 16949 -0.15886289 1.13874370 -9.102173 65.245208
    Oben rechts KachelX + 1 31112 KachelY 16949 -0.15876701 1.13874370 -9.096680 65.245208
    Unten links KachelX 31111 KachelY + 1 16950 -0.15886289 1.13870355 -9.102173 65.242908
    Unten rechts KachelX + 1 31112 KachelY + 1 16950 -0.15876701 1.13870355 -9.096680 65.242908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13874370-1.13870355) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dl = 255.795650000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13874370-1.13870355) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dr = 255.795650000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15886289--0.15876701) × cos(1.13874370) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.418735690376748 × 6371000     		do = 255.785316195513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15886289--0.15876701) × cos(1.13870355) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.418772150581665 × 6371000     		du = 255.807587965647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13874370)-sin(1.13870355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418735690376748-0.418772150581665)×R²
    abs(-0.15876701--0.15886289)×3.64602049172102e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.64602049172102e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.64602049172102e-05×40589641000000     		ar = 65431.6197365136m²