Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31110 / 6786
↖ ↑ ↗
← N 71.958584°
E161.784668°		 ← 378.33 m → N 71.958584°
E161.795654°		 →
↑
378.37 m
↓
↑
378.37 m
↓
N 71.955181°
E161.784668°		 ← 378.40 m →
143 162 m²		 N 71.955181°
E161.795654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949417114257812 y=0.207107543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949417114257812 × 215)
    floor (0.949417114257812 × 32768)
    floor (31110.5)     		tx = 31110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207107543945312 × 215)
    floor (0.207107543945312 × 32768)
    floor (6786.5)     		ty = 6786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31110 / 6786 ti = "15/31110/6786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31110/6786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31110 ÷ 215
    31110 ÷ 32768     		x = 0.94940185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6786 ÷ 215
    6786 ÷ 32768     		y = 0.20709228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94940185546875 × 2 - 1) × π
    0.8988037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82367514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20709228515625 × 2 - 1) × π
    0.5858154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8403934502132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82367514} λ = 2.82367514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8403934502132))-π/2
    2×atan(6.2990161227735)-π/2
    2×1.41335527055575-π/2
    2.82671054111149-1.57079632675     		φ = 1.25591421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82367514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.784668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25591421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.958584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31110 KachelY 6786 2.82367514 1.25591421 161.784668 71.958584
    Oben rechts KachelX + 1 31111 KachelY 6786 2.82386688 1.25591421 161.795654 71.958584
    Unten links KachelX 31110 KachelY + 1 6787 2.82367514 1.25585482 161.784668 71.955181
    Unten rechts KachelX + 1 31111 KachelY + 1 6787 2.82386688 1.25585482 161.795654 71.955181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25591421-1.25585482) × R
    5.93900000001035e-05 × 6371000     		dl = 378.37369000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25591421-1.25585482) × R
    5.93900000001035e-05 × 6371000     		dr = 378.37369000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82367514-2.82386688) × cos(1.25591421) × R
    0.000191739999999996 × 0.309704386150641 × 6371000     		do = 378.327302752329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82367514-2.82386688) × cos(1.25585482) × R
    0.000191739999999996 × 0.30976085557002 × 6371000     		du = 378.396284413801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25591421)-sin(1.25585482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309704386150641-0.30976085557002)×R²
    abs(2.82386688-2.82367514)×5.64694193789239e-05×R²
    0.000191739999999996×5.64694193789239e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.64694193789239e-05×40589641000000     		ar = 143162.148035777m²