Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31110 / 19797
↖ ↑ ↗
← N 57.830130°
W  9.107666°		 ← 325.20 m → N 57.830130°
W  9.102173°		 →
↑
325.24 m
↓
↑
325.24 m
↓
N 57.827205°
W  9.107666°		 ← 325.23 m →
105 773 m²		 N 57.827205°
W  9.102173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474708557128906 y=0.302085876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474708557128906 × 216)
    floor (0.474708557128906 × 65536)
    floor (31110.5)     		tx = 31110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302085876464844 × 216)
    floor (0.302085876464844 × 65536)
    floor (19797.5)     		ty = 19797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31110 / 19797 ti = "16/31110/19797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31110/19797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31110 ÷ 216
    31110 ÷ 65536     		x = 0.474700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19797 ÷ 216
    19797 ÷ 65536     		y = 0.302078247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.05059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15895876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302078247070312 × 2 - 1) × π
    0.395843505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2435790499435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15895876} λ = -0.15895876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2435790499435))-π/2
    2×atan(3.4680034368771)-π/2
    2×1.29006125368054-π/2
    2.58012250736107-1.57079632675     		φ = 1.00932618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15895876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.107666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00932618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.830130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31110 KachelY 19797 -0.15895876 1.00932618 -9.107666 57.830130
    Oben rechts KachelX + 1 31111 KachelY 19797 -0.15886289 1.00932618 -9.102173 57.830130
    Unten links KachelX 31110 KachelY + 1 19798 -0.15895876 1.00927513 -9.107666 57.827205
    Unten rechts KachelX + 1 31111 KachelY + 1 19798 -0.15886289 1.00927513 -9.102173 57.827205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00932618-1.00927513) × R
    5.10499999999414e-05 × 6371000     		dl = 325.239549999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00932618-1.00927513) × R
    5.10499999999414e-05 × 6371000     		dr = 325.239549999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15895876--0.15886289) × cos(1.00932618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.532431212823457 × 6371000     		do = 325.202473158828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15895876--0.15886289) × cos(1.00927513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.532474424590291 × 6371000     		du = 325.22886637753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00932618)-sin(1.00927513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532431212823457-0.532474424590291)×R²
    abs(-0.15886289--0.15895876)×4.32117668341947e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32117668341947e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32117668341947e-05×40589641000000     		ar = 105772.998111465m²