Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3111 / 7161
↖ ↑ ↗
← N 22.085640°
W111.643067°		 ← 2 264 m → N 22.085640°
W111.621094°		 →
↑
2 264.13 m
↓
↑
2 264.13 m
↓
N 22.065278°
W111.643067°		 ← 2 264.32 m →
5 126 346 m²		 N 22.065278°
W111.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.189910888671875 y=0.437103271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.189910888671875 × 214)
    floor (0.189910888671875 × 16384)
    floor (3111.5)     		tx = 3111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437103271484375 × 214)
    floor (0.437103271484375 × 16384)
    floor (7161.5)     		ty = 7161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3111 / 7161 ti = "14/3111/7161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3111/7161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3111 ÷ 214
    3111 ÷ 16384     		x = 0.18988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7161 ÷ 214
    7161 ÷ 16384     		y = 0.43707275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.18988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.6202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.94853910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43707275390625 × 2 - 1) × π
    0.1258544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.395383548066223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94853910} λ = -1.94853910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.395383548066223))-π/2
    2×atan(1.48495363280406)-π/2
    2×0.97813173023903-π/2
    1.95626346047806-1.57079632675     		φ = 0.38546713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94853910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.643067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38546713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.085640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3111 KachelY 7161 -1.94853910 0.38546713 -111.643067 22.085640
    Oben rechts KachelX + 1 3112 KachelY 7161 -1.94815560 0.38546713 -111.621094 22.085640
    Unten links KachelX 3111 KachelY + 1 7162 -1.94853910 0.38511175 -111.643067 22.065278
    Unten rechts KachelX + 1 3112 KachelY + 1 7162 -1.94815560 0.38511175 -111.621094 22.065278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38546713-0.38511175) × R
    0.000355380000000016 × 6371000     		dl = 2264.1259800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38546713-0.38511175) × R
    0.000355380000000016 × 6371000     		dr = 2264.1259800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94853910--1.94815560) × cos(0.38546713) × R
    0.000383500000000092 × 0.926622896621473 × 6371000     		do = 2263.99780092351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94853910--1.94815560) × cos(0.38511175) × R
    0.000383500000000092 × 0.926756458152782 × 6371000     		du = 2264.32412894139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38546713)-sin(0.38511175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926622896621473-0.926756458152782)×R²
    abs(-1.94815560--1.94853910)×0.000133561531309612×R²
    0.000383500000000092×0.000133561531309612×6371000²
    0.000383500000000092×0.000133561531309612×40589641000000     		ar = 5126345.71755857m²