Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31109 / 6787
↖ ↑ ↗
← N 71.955181°
E161.773682°		 ← 378.42 m → N 71.955181°
E161.784668°		 →
↑
378.44 m
↓
↑
378.44 m
↓
N 71.951777°
E161.773682°		 ← 378.49 m →
143 220 m²		 N 71.951777°
E161.784668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949386596679688 y=0.207138061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949386596679688 × 215)
    floor (0.949386596679688 × 32768)
    floor (31109.5)     		tx = 31109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207138061523438 × 215)
    floor (0.207138061523438 × 32768)
    floor (6787.5)     		ty = 6787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31109 / 6787 ti = "15/31109/6787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31109/6787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31109 ÷ 215
    31109 ÷ 32768     		x = 0.949371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6787 ÷ 215
    6787 ÷ 32768     		y = 0.207122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949371337890625 × 2 - 1) × π
    0.89874267578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82348339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207122802734375 × 2 - 1) × π
    0.58575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84020170261472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82348339} λ = 2.82348339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84020170261472))-π/2
    2×atan(6.29780841735018)-π/2
    2×1.41332557531308-π/2
    2.82665115062616-1.57079632675     		φ = 1.25585482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82348339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.773682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25585482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.955181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31109 KachelY 6787 2.82348339 1.25585482 161.773682 71.955181
    Oben rechts KachelX + 1 31110 KachelY 6787 2.82367514 1.25585482 161.784668 71.955181
    Unten links KachelX 31109 KachelY + 1 6788 2.82348339 1.25579542 161.773682 71.951777
    Unten rechts KachelX + 1 31110 KachelY + 1 6788 2.82367514 1.25579542 161.784668 71.951777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25585482-1.25579542) × R
    5.93999999998207e-05 × 6371000     		dl = 378.437399998858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25585482-1.25579542) × R
    5.93999999998207e-05 × 6371000     		dr = 378.437399998858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82348339-2.82367514) × cos(1.25585482) × R
    0.000191750000000379 × 0.30976085557002 × 6371000     		do = 378.416019278665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82348339-2.82367514) × cos(1.25579542) × R
    0.000191750000000379 × 0.30981733340478 × 6371000     		du = 378.485014818363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25585482)-sin(1.25579542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30976085557002-0.30981733340478)×R²
    abs(2.82367514-2.82348339)×5.6477834759816e-05×R²
    0.000191750000000379×5.6477834759816e-05×6371000²
    0.000191750000000379×5.6477834759816e-05×40589641000000     		ar = 143219.829741945m²