Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31109 / 17027
↖ ↑ ↗
← N 65.065183°
W  9.113159°		 ← 257.50 m → N 65.065183°
W  9.107666°		 →
↑
257.52 m
↓
↑
257.52 m
↓
N 65.062868°
W  9.113159°		 ← 257.52 m →
66 313 m²		 N 65.062868°
W  9.107666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474693298339844 y=0.259819030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474693298339844 × 216)
    floor (0.474693298339844 × 65536)
    floor (31109.5)     		tx = 31109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259819030761719 × 216)
    floor (0.259819030761719 × 65536)
    floor (17027.5)     		ty = 17027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31109 / 17027 ti = "16/31109/17027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31109/17027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31109 ÷ 216
    31109 ÷ 65536     		x = 0.474685668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17027 ÷ 216
    17027 ÷ 65536     		y = 0.259811401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474685668945312 × 2 - 1) × π
    -0.050628662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15905463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259811401367188 × 2 - 1) × π
    0.480377197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50914947383861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15905463} λ = -0.15905463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50914947383861))-π/2
    2×atan(4.52288232819066)-π/2
    2×1.35319900322551-π/2
    2.70639800645102-1.57079632675     		φ = 1.13560168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15905463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.113159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13560168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.065183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31109 KachelY 17027 -0.15905463 1.13560168 -9.113159 65.065183
    Oben rechts KachelX + 1 31110 KachelY 17027 -0.15895876 1.13560168 -9.107666 65.065183
    Unten links KachelX 31109 KachelY + 1 17028 -0.15905463 1.13556126 -9.113159 65.062868
    Unten rechts KachelX + 1 31110 KachelY + 1 17028 -0.15895876 1.13556126 -9.107666 65.062868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13560168-1.13556126) × R
    4.041999999993e-05 × 6371000     		dl = 257.515819999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13560168-1.13556126) × R
    4.041999999993e-05 × 6371000     		dr = 257.515819999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15905463--0.15895876) × cos(1.13560168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421586912729588 × 6371000     		do = 257.500130287284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15905463--0.15895876) × cos(1.13556126) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421623564756106 × 6371000     		du = 257.522516896827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13560168)-sin(1.13556126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421586912729588-0.421623564756106)×R²
    abs(-0.15895876--0.15905463)×3.66520265175918e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66520265175918e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66520265175918e-05×40589641000000     		ar = 66313.2396628625m²