Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31108 / 6782
↖ ↑ ↗
← N 71.972189°
E161.762695°		 ← 378.07 m → N 71.972189°
E161.773682°		 →
↑
378.12 m
↓
↑
378.12 m
↓
N 71.968789°
E161.762695°		 ← 378.14 m →
142 969 m²		 N 71.968789°
E161.773682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949356079101562 y=0.206985473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949356079101562 × 215)
    floor (0.949356079101562 × 32768)
    floor (31108.5)     		tx = 31108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206985473632812 × 215)
    floor (0.206985473632812 × 32768)
    floor (6782.5)     		ty = 6782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31108 / 6782 ti = "15/31108/6782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31108/6782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31108 ÷ 215
    31108 ÷ 32768     		x = 0.9493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6782 ÷ 215
    6782 ÷ 32768     		y = 0.20697021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9493408203125 × 2 - 1) × π
    0.898681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82329164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20697021484375 × 2 - 1) × π
    0.5860595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84116044060712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82329164} λ = 2.82329164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84116044060712))-π/2
    2×atan(6.30384926087914)-π/2
    2×1.41347399739982-π/2
    2.82694799479964-1.57079632675     		φ = 1.25615167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82329164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.762695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25615167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.972189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31108 KachelY 6782 2.82329164 1.25615167 161.762695 71.972189
    Oben rechts KachelX + 1 31109 KachelY 6782 2.82348339 1.25615167 161.773682 71.972189
    Unten links KachelX 31108 KachelY + 1 6783 2.82329164 1.25609232 161.762695 71.968789
    Unten rechts KachelX + 1 31109 KachelY + 1 6783 2.82348339 1.25609232 161.773682 71.968789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25615167-1.25609232) × R
    5.93499999999025e-05 × 6371000     		dl = 378.118849999379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25615167-1.25609232) × R
    5.93499999999025e-05 × 6371000     		dr = 378.118849999379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82329164-2.82348339) × cos(1.25615167) × R
    0.000191749999999935 × 0.309478592641953 × 6371000     		do = 378.071195806043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82329164-2.82348339) × cos(1.25609232) × R
    0.000191749999999935 × 0.3095350283923 × 6371000     		du = 378.14013993377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25615167)-sin(1.25609232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309478592641953-0.3095350283923)×R²
    abs(2.82348339-2.82329164)×5.64357503467505e-05×R²
    0.000191749999999935×5.64357503467505e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.64357503467505e-05×40589641000000     		ar = 142968.880355653m²