Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31108 / 16972
↖ ↑ ↗
← N 65.192251°
W  9.118653°		 ← 256.30 m → N 65.192251°
W  9.113159°		 →
↑
256.24 m
↓
↑
256.24 m
↓
N 65.189946°
W  9.118653°		 ← 256.32 m →
65 677 m²		 N 65.189946°
W  9.113159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474678039550781 y=0.258979797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474678039550781 × 216)
    floor (0.474678039550781 × 65536)
    floor (31108.5)     		tx = 31108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258979797363281 × 216)
    floor (0.258979797363281 × 65536)
    floor (16972.5)     		ty = 16972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31108 / 16972 ti = "16/31108/16972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31108/16972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31108 ÷ 216
    31108 ÷ 65536     		x = 0.47467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16972 ÷ 216
    16972 ÷ 65536     		y = 0.25897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.0506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15915051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25897216796875 × 2 - 1) × π
    0.4820556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51442253279681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15915051} λ = -0.15915051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51442253279681))-π/2
    2×atan(4.54679474374945)-π/2
    2×1.35430787546268-π/2
    2.70861575092536-1.57079632675     		φ = 1.13781942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15915051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.118653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13781942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.192251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31108 KachelY 16972 -0.15915051 1.13781942 -9.118653 65.192251
    Oben rechts KachelX + 1 31109 KachelY 16972 -0.15905463 1.13781942 -9.113159 65.192251
    Unten links KachelX 31108 KachelY + 1 16973 -0.15915051 1.13777920 -9.118653 65.189946
    Unten rechts KachelX + 1 31109 KachelY + 1 16973 -0.15905463 1.13777920 -9.113159 65.189946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13781942-1.13777920) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dl = 256.241620000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13781942-1.13777920) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dr = 256.241620000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15915051--0.15905463) × cos(1.13781942) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.41957485760138 × 6371000     		do = 256.297922736573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15915051--0.15905463) × cos(1.13777920) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.419611365790105 × 6371000     		du = 256.320223817688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13781942)-sin(1.13777920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41957485760138-0.419611365790105)×R²
    abs(-0.15905463--0.15915051)×3.65081887251928e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.65081887251928e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.65081887251928e-05×40589641000000     		ar = 65677.0521661894m²