Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31107 / 6789
↖ ↑ ↗
← N 71.948374°
E161.751709°		 ← 378.55 m → N 71.948374°
E161.762695°		 →
↑
378.56 m
↓
↑
378.56 m
↓
N 71.944969°
E161.751709°		 ← 378.62 m →
143 320 m²		 N 71.944969°
E161.762695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949325561523438 y=0.207199096679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949325561523438 × 215)
    floor (0.949325561523438 × 32768)
    floor (31107.5)     		tx = 31107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207199096679688 × 215)
    floor (0.207199096679688 × 32768)
    floor (6789.5)     		ty = 6789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31107 / 6789 ti = "15/31107/6789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31107/6789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31107 ÷ 215
    31107 ÷ 32768     		x = 0.949310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6789 ÷ 215
    6789 ÷ 32768     		y = 0.207183837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949310302734375 × 2 - 1) × π
    0.89862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82309989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207183837890625 × 2 - 1) × π
    0.58563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83981820741776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82309989} λ = 2.82309989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83981820741776))-π/2
    2×atan(6.29539370111638)-π/2
    2×1.4132661685836-π/2
    2.8265323371672-1.57079632675     		φ = 1.25573601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82309989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.751709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25573601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.948374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31107 KachelY 6789 2.82309989 1.25573601 161.751709 71.948374
    Oben rechts KachelX + 1 31108 KachelY 6789 2.82329164 1.25573601 161.762695 71.948374
    Unten links KachelX 31107 KachelY + 1 6790 2.82309989 1.25567659 161.751709 71.944969
    Unten rechts KachelX + 1 31108 KachelY + 1 6790 2.82329164 1.25567659 161.762695 71.944969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25573601-1.25567659) × R
    5.94199999999212e-05 × 6371000     		dl = 378.564819999498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25573601-1.25567659) × R
    5.94199999999212e-05 × 6371000     		dr = 378.564819999498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82309989-2.82329164) × cos(1.25573601) × R
    0.000191749999999935 × 0.309873819654169 × 6371000     		do = 378.554020636827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82309989-2.82329164) × cos(1.25567659) × R
    0.000191749999999935 × 0.309930314317437 × 6371000     		du = 378.62303673489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25573601)-sin(1.25567659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309873819654169-0.309930314317437)×R²
    abs(2.82329164-2.82309989)×5.64946632679586e-05×R²
    0.000191749999999935×5.64946632679586e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.64946632679586e-05×40589641000000     		ar = 143320.298258289m²