Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31107 / 16948
↖ ↑ ↗
← N 65.247508°
W  9.124145°		 ← 255.74 m → N 65.247508°
W  9.118653°		 →
↑
255.80 m
↓
↑
255.80 m
↓
N 65.245208°
W  9.124145°		 ← 255.76 m →
65 419 m²		 N 65.245208°
W  9.118653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474662780761719 y=0.258613586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474662780761719 × 216)
    floor (0.474662780761719 × 65536)
    floor (31107.5)     		tx = 31107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258613586425781 × 216)
    floor (0.258613586425781 × 65536)
    floor (16948.5)     		ty = 16948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31107 / 16948 ti = "16/31107/16948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31107/16948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31107 ÷ 216
    31107 ÷ 65536     		x = 0.474655151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16948 ÷ 216
    16948 ÷ 65536     		y = 0.25860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474655151367188 × 2 - 1) × π
    -0.050689697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15924638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25860595703125 × 2 - 1) × π
    0.4827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51672350397858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15924638} λ = -0.15924638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51672350397858))-π/2
    2×atan(4.55726883309184)-π/2
    2×1.35479008645376-π/2
    2.70958017290752-1.57079632675     		φ = 1.13878385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15924638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.124145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13878385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.247508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31107 KachelY 16948 -0.15924638 1.13878385 -9.124145 65.247508
    Oben rechts KachelX + 1 31108 KachelY 16948 -0.15915051 1.13878385 -9.118653 65.247508
    Unten links KachelX 31107 KachelY + 1 16949 -0.15924638 1.13874370 -9.124145 65.245208
    Unten rechts KachelX + 1 31108 KachelY + 1 16949 -0.15915051 1.13874370 -9.118653 65.245208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13878385-1.13874370) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dl = 255.795650000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13878385-1.13874370) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dr = 255.795650000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15924638--0.15915051) × cos(1.13878385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418699229496819 × 6371000     		do = 255.736368685075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15924638--0.15915051) × cos(1.13874370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418735690376748 × 6371000     		du = 255.758638544619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13878385)-sin(1.13874370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418699229496819-0.418735690376748)×R²
    abs(-0.15915051--0.15924638)×3.64608799285904e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64608799285904e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64608799285904e-05×40589641000000     		ar = 65419.0989318724m²