Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31106 / 6790
↖ ↑ ↗
← N 71.944969°
E161.740722°		 ← 378.62 m → N 71.944969°
E161.751709°		 →
↑
378.69 m
↓
↑
378.69 m
↓
N 71.941563°
E161.740722°		 ← 378.69 m →
143 395 m²		 N 71.941563°
E161.751709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949295043945312 y=0.207229614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949295043945312 × 215)
    floor (0.949295043945312 × 32768)
    floor (31106.5)     		tx = 31106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207229614257812 × 215)
    floor (0.207229614257812 × 32768)
    floor (6790.5)     		ty = 6790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31106 / 6790 ti = "15/31106/6790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31106/6790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31106 ÷ 215
    31106 ÷ 32768     		x = 0.94927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6790 ÷ 215
    6790 ÷ 32768     		y = 0.20721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94927978515625 × 2 - 1) × π
    0.8985595703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82290814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20721435546875 × 2 - 1) × π
    0.5855712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83962645981927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82290814} λ = 2.82290814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83962645981927))-π/2
    2×atan(6.29418669021713)-π/2
    2×1.41323645709502-π/2
    2.82647291419003-1.57079632675     		φ = 1.25567659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82290814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.740722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25567659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.944969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31106 KachelY 6790 2.82290814 1.25567659 161.740722 71.944969
    Oben rechts KachelX + 1 31107 KachelY 6790 2.82309989 1.25567659 161.751709 71.944969
    Unten links KachelX 31106 KachelY + 1 6791 2.82290814 1.25561715 161.740722 71.941563
    Unten rechts KachelX + 1 31107 KachelY + 1 6791 2.82309989 1.25561715 161.751709 71.941563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25567659-1.25561715) × R
    5.94400000000217e-05 × 6371000     		dl = 378.692240000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25567659-1.25561715) × R
    5.94400000000217e-05 × 6371000     		dr = 378.692240000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82290814-2.82309989) × cos(1.25567659) × R
    0.000191749999999935 × 0.309930314317437 × 6371000     		do = 378.62303673489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82290814-2.82309989) × cos(1.25561715) × R
    0.000191749999999935 × 0.30998682690124 × 6371000     		du = 378.692074725383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25567659)-sin(1.25561715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309930314317437-0.30998682690124)×R²
    abs(2.82309989-2.82290814)×5.6512583802848e-05×R²
    0.000191749999999935×5.6512583802848e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.6512583802848e-05×40589641000000     		ar = 143394.678014613m²