Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31106 / 38276
↖ ↑ ↗
← S 28.940862°
W  9.129638°		 ← 534.51 m → S 28.940862°
W  9.124145°		 →
↑
534.53 m
↓
↑
534.53 m
↓
S 28.945669°
W  9.129638°		 ← 534.49 m →
285 705 m²		 S 28.945669°
W  9.124145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474647521972656 y=0.584053039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474647521972656 × 216)
    floor (0.474647521972656 × 65536)
    floor (31106.5)     		tx = 31106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584053039550781 × 216)
    floor (0.584053039550781 × 65536)
    floor (38276.5)     		ty = 38276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31106 / 38276 ti = "16/31106/38276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31106/38276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31106 ÷ 216
    31106 ÷ 65536     		x = 0.474639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38276 ÷ 216
    38276 ÷ 65536     		y = 0.58404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.05072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15934225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.1680908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.528072886214539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15934225} λ = -0.15934225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528072886214539))-π/2
    2×atan(0.589740372103061)-π/2
    2×0.532841500283713-π/2
    1.06568300056743-1.57079632675     		φ = -0.50511333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15934225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.129638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50511333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.940862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31106 KachelY 38276 -0.15934225 -0.50511333 -9.129638 -28.940862
    Oben rechts KachelX + 1 31107 KachelY 38276 -0.15924638 -0.50511333 -9.124145 -28.940862
    Unten links KachelX 31106 KachelY + 1 38277 -0.15934225 -0.50519723 -9.129638 -28.945669
    Unten rechts KachelX + 1 31107 KachelY + 1 38277 -0.15924638 -0.50519723 -9.124145 -28.945669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50511333--0.50519723) × R
    8.39000000000256e-05 × 6371000     		dl = 534.526900000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50511333--0.50519723) × R
    8.39000000000256e-05 × 6371000     		dr = 534.526900000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15934225--0.15924638) × cos(-0.50511333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875119638908872 × 6371000     		do = 534.512372732344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15934225--0.15924638) × cos(-0.50519723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875079036063365 × 6371000     		du = 534.48757301088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50511333)-sin(-0.50519723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875119638908872-0.875079036063365)×R²
    abs(-0.15924638--0.15934225)×4.06028455078866e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.06028455078866e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.06028455078866e-05×40589641000000     		ar = 285704.613716764m²