Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31106 / 38271
↖ ↑ ↗
← S 28.916823°
W  9.129638°		 ← 534.64 m → S 28.916823°
W  9.124145°		 →
↑
534.65 m
↓
↑
534.65 m
↓
S 28.921631°
W  9.129638°		 ← 534.61 m →
285 839 m²		 S 28.921631°
W  9.124145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474647521972656 y=0.583976745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474647521972656 × 216)
    floor (0.474647521972656 × 65536)
    floor (31106.5)     		tx = 31106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583976745605469 × 216)
    floor (0.583976745605469 × 65536)
    floor (38271.5)     		ty = 38271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31106 / 38271 ti = "16/31106/38271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31106/38271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31106 ÷ 216
    31106 ÷ 65536     		x = 0.474639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38271 ÷ 216
    38271 ÷ 65536     		y = 0.583969116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.05072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15934225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583969116210938 × 2 - 1) × π
    -0.167938232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.527593517218338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15934225} λ = -0.15934225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527593517218338))-π/2
    2×atan(0.59002314312367)-π/2
    2×0.533051277219446-π/2
    1.06610255443889-1.57079632675     		φ = -0.50469377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15934225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.129638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50469377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.916823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31106 KachelY 38271 -0.15934225 -0.50469377 -9.129638 -28.916823
    Oben rechts KachelX + 1 31107 KachelY 38271 -0.15924638 -0.50469377 -9.124145 -28.916823
    Unten links KachelX 31106 KachelY + 1 38272 -0.15934225 -0.50477769 -9.129638 -28.921631
    Unten rechts KachelX + 1 31107 KachelY + 1 38272 -0.15924638 -0.50477769 -9.124145 -28.921631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50469377--0.50477769) × R
    8.39199999999041e-05 × 6371000     		dl = 534.654319999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50469377--0.50477769) × R
    8.39199999999041e-05 × 6371000     		dr = 534.654319999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15934225--0.15924638) × cos(-0.50469377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.8753225897408 × 6371000     		do = 534.636332618396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15934225--0.15924638) × cos(-0.50477769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875282008031053 × 6371000     		du = 534.611545806397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50469377)-sin(-0.50477769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8753225897408-0.875282008031053)×R²
    abs(-0.15924638--0.15934225)×4.05817097470784e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.05817097470784e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.05817097470784e-05×40589641000000     		ar = 285838.998842722m²