Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31106 / 16953
↖ ↑ ↗
← N 65.236006°
W  9.129638°		 ← 255.85 m → N 65.236006°
W  9.124145°		 →
↑
255.86 m
↓
↑
255.86 m
↓
N 65.233705°
W  9.129638°		 ← 255.87 m →
65 464 m²		 N 65.233705°
W  9.124145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474647521972656 y=0.258689880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474647521972656 × 216)
    floor (0.474647521972656 × 65536)
    floor (31106.5)     		tx = 31106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258689880371094 × 216)
    floor (0.258689880371094 × 65536)
    floor (16953.5)     		ty = 16953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31106 / 16953 ti = "16/31106/16953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31106/16953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31106 ÷ 216
    31106 ÷ 65536     		x = 0.474639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16953 ÷ 216
    16953 ÷ 65536     		y = 0.258682250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.05072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15934225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258682250976562 × 2 - 1) × π
    0.482635498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51624413498238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15934225} λ = -0.15934225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51624413498238))-π/2
    2×atan(4.55508474324021)-π/2
    2×1.35468970889197-π/2
    2.70937941778394-1.57079632675     		φ = 1.13858309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15934225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.129638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13858309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.236006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31106 KachelY 16953 -0.15934225 1.13858309 -9.129638 65.236006
    Oben rechts KachelX + 1 31107 KachelY 16953 -0.15924638 1.13858309 -9.124145 65.236006
    Unten links KachelX 31106 KachelY + 1 16954 -0.15934225 1.13854293 -9.129638 65.233705
    Unten rechts KachelX + 1 31107 KachelY + 1 16954 -0.15924638 1.13854293 -9.124145 65.233705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13858309-1.13854293) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dl = 255.859359999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13858309-1.13854293) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dr = 255.859359999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15934225--0.15924638) × cos(1.13858309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41888153622617 × 6371000     		do = 255.847719405751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15934225--0.15924638) × cos(1.13854293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418918002810526 × 6371000     		du = 255.869992749489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13858309)-sin(1.13854293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41888153622617-0.418918002810526)×R²
    abs(-0.15924638--0.15934225)×3.64665843565759e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64665843565759e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64665843565759e-05×40589641000000     		ar = 65463.8831752672m²