Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31105 / 6783
↖ ↑ ↗
← N 71.968789°
E161.729736°		 ← 378.12 m → N 71.968789°
E161.740722°		 →
↑
378.18 m
↓
↑
378.18 m
↓
N 71.965388°
E161.729736°		 ← 378.19 m →
143 012 m²		 N 71.965388°
E161.740722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949264526367188 y=0.207015991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949264526367188 × 215)
    floor (0.949264526367188 × 32768)
    floor (31105.5)     		tx = 31105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207015991210938 × 215)
    floor (0.207015991210938 × 32768)
    floor (6783.5)     		ty = 6783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31105 / 6783 ti = "15/31105/6783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31105/6783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31105 ÷ 215
    31105 ÷ 32768     		x = 0.949249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6783 ÷ 215
    6783 ÷ 32768     		y = 0.207000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949249267578125 × 2 - 1) × π
    0.89849853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82271640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207000732421875 × 2 - 1) × π
    0.58599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84096869300864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82271640} λ = 2.82271640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84096869300864))-π/2
    2×atan(6.30264062880204)-π/2
    2×1.41344432380603-π/2
    2.82688864761205-1.57079632675     		φ = 1.25609232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82271640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.729736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25609232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.968789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31105 KachelY 6783 2.82271640 1.25609232 161.729736 71.968789
    Oben rechts KachelX + 1 31106 KachelY 6783 2.82290814 1.25609232 161.740722 71.968789
    Unten links KachelX 31105 KachelY + 1 6784 2.82271640 1.25603296 161.729736 71.965388
    Unten rechts KachelX + 1 31106 KachelY + 1 6784 2.82290814 1.25603296 161.740722 71.965388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25609232-1.25603296) × R
    5.93600000000638e-05 × 6371000     		dl = 378.182560000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25609232-1.25603296) × R
    5.93600000000638e-05 × 6371000     		dr = 378.182560000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82271640-2.82290814) × cos(1.25609232) × R
    0.000191739999999996 × 0.3095350283923 × 6371000     		do = 378.120419457231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82271640-2.82290814) × cos(1.25603296) × R
    0.000191739999999996 × 0.30959147256103 × 6371000     		du = 378.189370273128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25609232)-sin(1.25603296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3095350283923-0.30959147256103)×R²
    abs(2.82290814-2.82271640)×5.64441687304629e-05×R²
    0.000191739999999996×5.64441687304629e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.64441687304629e-05×40589641000000     		ar = 143011.586258322m²