Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31105 / 6781
↖ ↑ ↗
← N 71.975588°
E161.729736°		 ← 377.98 m → N 71.975588°
E161.740722°		 →
↑
377.99 m
↓
↑
377.99 m
↓
N 71.972189°
E161.729736°		 ← 378.05 m →
142 887 m²		 N 71.972189°
E161.740722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949264526367188 y=0.206954956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949264526367188 × 215)
    floor (0.949264526367188 × 32768)
    floor (31105.5)     		tx = 31105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206954956054688 × 215)
    floor (0.206954956054688 × 32768)
    floor (6781.5)     		ty = 6781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31105 / 6781 ti = "15/31105/6781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31105/6781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31105 ÷ 215
    31105 ÷ 32768     		x = 0.949249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6781 ÷ 215
    6781 ÷ 32768     		y = 0.206939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949249267578125 × 2 - 1) × π
    0.89849853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82271640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206939697265625 × 2 - 1) × π
    0.58612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8413521882056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82271640} λ = 2.82271640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8413521882056))-π/2
    2×atan(6.30505812473076)-π/2
    2×1.41350366558361-π/2
    2.82700733116721-1.57079632675     		φ = 1.25621100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82271640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.729736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25621100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.975588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31105 KachelY 6781 2.82271640 1.25621100 161.729736 71.975588
    Oben rechts KachelX + 1 31106 KachelY 6781 2.82290814 1.25621100 161.740722 71.975588
    Unten links KachelX 31105 KachelY + 1 6782 2.82271640 1.25615167 161.729736 71.972189
    Unten rechts KachelX + 1 31106 KachelY + 1 6782 2.82290814 1.25615167 161.740722 71.972189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25621100-1.25615167) × R
    5.93300000000241e-05 × 6371000     		dl = 377.991430000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25621100-1.25615167) × R
    5.93300000000241e-05 × 6371000     		dr = 377.991430000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82271640-2.82290814) × cos(1.25621100) × R
    0.000191739999999996 × 0.309422174819988 × 6371000     		do = 377.982560293692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82271640-2.82290814) × cos(1.25615167) × R
    0.000191739999999996 × 0.309478592641953 × 6371000     		du = 378.051478925026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25621100)-sin(1.25615167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309422174819988-0.309478592641953)×R²
    abs(2.82290814-2.82271640)×5.64178219657485e-05×R²
    0.000191739999999996×5.64178219657485e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.64178219657485e-05×40589641000000     		ar = 142887.193848627m²