Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 31104 / 6784
↖ ↑ ↗
← N 71.965388°
E161.718750°		 ← 378.21 m → N 71.965388°
E161.729736°		 →
↑
378.25 m
↓
↑
378.25 m
↓
N 71.961986°
E161.718750°		 ← 378.28 m →
143 069 m²		 N 71.961986°
E161.729736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949234008789062 y=0.207046508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949234008789062 × 215)
    floor (0.949234008789062 × 32768)
    floor (31104.5)     		tx = 31104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207046508789062 × 215)
    floor (0.207046508789062 × 32768)
    floor (6784.5)     		ty = 6784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31104 / 6784 ti = "15/31104/6784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31104/6784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31104 ÷ 215
    31104 ÷ 32768     		x = 0.94921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6784 ÷ 215
    6784 ÷ 32768     		y = 0.20703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94921875 × 2 - 1) × π
    0.8984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82252465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20703125 × 2 - 1) × π
    0.5859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82252465} λ = 2.82252465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84077694541016))-π/2
    2×atan(6.30143222845502)-π/2
    2×1.41341464480134-π/2
    2.82682928960268-1.57079632675     		φ = 1.25603296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82252465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25603296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.965388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31104 KachelY 6784 2.82252465 1.25603296 161.718750 71.965388
    Oben rechts KachelX + 1 31105 KachelY 6784 2.82271640 1.25603296 161.729736 71.965388
    Unten links KachelX 31104 KachelY + 1 6785 2.82252465 1.25597359 161.718750 71.961986
    Unten rechts KachelX + 1 31105 KachelY + 1 6785 2.82271640 1.25597359 161.729736 71.961986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25603296-1.25597359) × R
    5.9370000000003e-05 × 6371000     		dl = 378.246270000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25603296-1.25597359) × R
    5.9370000000003e-05 × 6371000     		dr = 378.246270000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82252465-2.82271640) × cos(1.25603296) × R
    0.000191749999999935 × 0.30959147256103 × 6371000     		do = 378.209094345725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82252465-2.82271640) × cos(1.25597359) × R
    0.000191749999999935 × 0.309647925147394 × 6371000     		du = 378.278059040991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25603296)-sin(1.25597359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30959147256103-0.309647925147394)×R²
    abs(2.82271640-2.82252465)×5.645258636372e-05×R²
    0.000191749999999935×5.645258636372e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.645258636372e-05×40589641000000     		ar = 143069.22207782m²