Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31104 / 14208
↖ ↑ ↗
← N 70.844672°
W  9.140625°		 ← 200.42 m → N 70.844672°
W  9.135132°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
N 70.842870°
W  9.140625°		 ← 200.44 m →
40 172 m²		 N 70.842870°
W  9.135132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474617004394531 y=0.216804504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474617004394531 × 216)
    floor (0.474617004394531 × 65536)
    floor (31104.5)     		tx = 31104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216804504394531 × 216)
    floor (0.216804504394531 × 65536)
    floor (14208.5)     		ty = 14208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31104 / 14208 ti = "16/31104/14208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31104/14208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31104 ÷ 216
    31104 ÷ 65536     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14208 ÷ 216
    14208 ÷ 65536     		y = 0.216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216796875 × 2 - 1) × π
    0.56640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77941771389648))-π/2
    2×atan(5.92640455068764)-π/2
    2×1.40363456087172-π/2
    2.80726912174344-1.57079632675     		φ = 1.23647279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23647279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.844672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31104 KachelY 14208 -0.15953400 1.23647279 -9.140625 70.844672
    Oben rechts KachelX + 1 31105 KachelY 14208 -0.15943813 1.23647279 -9.135132 70.844672
    Unten links KachelX 31104 KachelY + 1 14209 -0.15953400 1.23644133 -9.140625 70.842870
    Unten rechts KachelX + 1 31105 KachelY + 1 14209 -0.15943813 1.23644133 -9.135132 70.842870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23647279-1.23644133) × R
    3.14600000002052e-05 × 6371000     		dl = 200.431660001307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23647279-1.23644133) × R
    3.14600000002052e-05 × 6371000     		dr = 200.431660001307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15943813) × cos(1.23647279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328130235874851 × 6371000     		do = 200.41793503957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15943813) × cos(1.23644133) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32815995385072 × 6371000     		du = 200.43608641578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23647279)-sin(1.23644133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328130235874851-0.32815995385072)×R²
    abs(-0.15943813--0.15953400)×2.97179758692034e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97179758692034e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97179758692034e-05×40589641000000     		ar = 40171.9184726421m²