Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31103 / 6795
↖ ↑ ↗
← N 71.927936°
E161.707764°		 ← 378.97 m → N 71.927936°
E161.718750°		 →
↑
379.01 m
↓
↑
379.01 m
↓
N 71.924528°
E161.707764°		 ← 379.04 m →
143 646 m²		 N 71.924528°
E161.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949203491210938 y=0.207382202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949203491210938 × 215)
    floor (0.949203491210938 × 32768)
    floor (31103.5)     		tx = 31103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207382202148438 × 215)
    floor (0.207382202148438 × 32768)
    floor (6795.5)     		ty = 6795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31103 / 6795 ti = "15/31103/6795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31103/6795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31103 ÷ 215
    31103 ÷ 32768     		x = 0.949188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6795 ÷ 215
    6795 ÷ 32768     		y = 0.207366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949188232421875 × 2 - 1) × π
    0.89837646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82233290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207366943359375 × 2 - 1) × π
    0.58526611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83866772182687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82233290} λ = 2.82233290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83866772182687))-π/2
    2×atan(6.28815510612237)-π/2
    2×1.41308781837839-π/2
    2.82617563675678-1.57079632675     		φ = 1.25537931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82233290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.707764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25537931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.927936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31103 KachelY 6795 2.82233290 1.25537931 161.707764 71.927936
    Oben rechts KachelX + 1 31104 KachelY 6795 2.82252465 1.25537931 161.718750 71.927936
    Unten links KachelX 31103 KachelY + 1 6796 2.82233290 1.25531982 161.707764 71.924528
    Unten rechts KachelX + 1 31104 KachelY + 1 6796 2.82252465 1.25531982 161.718750 71.924528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25537931-1.25531982) × R
    5.94899999999399e-05 × 6371000     		dl = 379.010789999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25537931-1.25531982) × R
    5.94899999999399e-05 × 6371000     		dr = 379.010789999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82233290-2.82252465) × cos(1.25537931) × R
    0.000191749999999935 × 0.310212942335637 × 6371000     		do = 378.968306215073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82233290-2.82252465) × cos(1.25531982) × R
    0.000191749999999935 × 0.310269496972307 × 6371000     		du = 379.037395578998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25537931)-sin(1.25531982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310212942335637-0.310269496972307)×R²
    abs(2.82252465-2.82233290)×5.65546366700365e-05×R²
    0.000191749999999935×5.65546366700365e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.65546366700365e-05×40589641000000     		ar = 143646.169972751m²