Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31103 / 19185
↖ ↑ ↗
← N 59.576070°
W  9.146118°		 ← 309.33 m → N 59.576070°
W  9.140625°		 →
↑
309.31 m
↓
↑
309.31 m
↓
N 59.573288°
W  9.146118°		 ← 309.36 m →
95 684 m²		 N 59.573288°
W  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474601745605469 y=0.292747497558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474601745605469 × 216)
    floor (0.474601745605469 × 65536)
    floor (31103.5)     		tx = 31103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292747497558594 × 216)
    floor (0.292747497558594 × 65536)
    floor (19185.5)     		ty = 19185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31103 / 19185 ti = "16/31103/19185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31103/19185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31103 ÷ 216
    31103 ÷ 65536     		x = 0.474594116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19185 ÷ 216
    19185 ÷ 65536     		y = 0.292739868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474594116210938 × 2 - 1) × π
    -0.050811767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15962988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292739868164062 × 2 - 1) × π
    0.414520263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30225381507845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15962988} λ = -0.15962988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30225381507845))-π/2
    2×atan(3.67757591021225)-π/2
    2×1.30529744709435-π/2
    2.6105948941887-1.57079632675     		φ = 1.03979857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15962988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.146118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03979857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.576070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31103 KachelY 19185 -0.15962988 1.03979857 -9.146118 59.576070
    Oben rechts KachelX + 1 31104 KachelY 19185 -0.15953400 1.03979857 -9.140625 59.576070
    Unten links KachelX 31103 KachelY + 1 19186 -0.15962988 1.03975002 -9.146118 59.573288
    Unten rechts KachelX + 1 31104 KachelY + 1 19186 -0.15953400 1.03975002 -9.140625 59.573288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03979857-1.03975002) × R
    4.85500000000361e-05 × 6371000     		dl = 309.31205000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03979857-1.03975002) × R
    4.85500000000361e-05 × 6371000     		dr = 309.31205000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15962988--0.15953400) × cos(1.03979857) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.506393961045396 × 6371000     		do = 309.331500567618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15962988--0.15953400) × cos(1.03975002) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.506435825222407 × 6371000     		du = 309.357073362105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03979857)-sin(1.03975002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506393961045396-0.506435825222407)×R²
    abs(-0.15953400--0.15962988)×4.18641770117967e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.18641770117967e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.18641770117967e-05×40589641000000     		ar = 95683.9155760589m²