Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31102 / 37763
↖ ↑ ↗
← S 26.445984°
W  9.151611°		 ← 546.87 m → S 26.445984°
W  9.146118°		 →
↑
546.89 m
↓
↑
546.89 m
↓
S 26.450902°
W  9.151611°		 ← 546.85 m →
299 070 m²		 S 26.450902°
W  9.146118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474586486816406 y=0.576225280761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474586486816406 × 216)
    floor (0.474586486816406 × 65536)
    floor (31102.5)     		tx = 31102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576225280761719 × 216)
    floor (0.576225280761719 × 65536)
    floor (37763.5)     		ty = 37763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31102 / 37763 ti = "16/31102/37763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31102/37763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31102 ÷ 216
    31102 ÷ 65536     		x = 0.474578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37763 ÷ 216
    37763 ÷ 65536     		y = 0.576217651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.05084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15972575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576217651367188 × 2 - 1) × π
    -0.152435302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.478889627204361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15972575} λ = -0.15972575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.478889627204361))-π/2
    2×atan(0.619470853649628)-π/2
    2×0.554613416048686-π/2
    1.10922683209737-1.57079632675     		φ = -0.46156949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15972575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.151611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46156949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.445984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31102 KachelY 37763 -0.15972575 -0.46156949 -9.151611 -26.445984
    Oben rechts KachelX + 1 31103 KachelY 37763 -0.15962988 -0.46156949 -9.146118 -26.445984
    Unten links KachelX 31102 KachelY + 1 37764 -0.15972575 -0.46165533 -9.151611 -26.450902
    Unten rechts KachelX + 1 31103 KachelY + 1 37764 -0.15962988 -0.46165533 -9.146118 -26.450902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46156949--0.46165533) × R
    8.58399999999482e-05 × 6371000     		dl = 546.88663999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46156949--0.46165533) × R
    8.58399999999482e-05 × 6371000     		dr = 546.88663999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15972575--0.15962988) × cos(-0.46156949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895354622074862 × 6371000     		do = 546.871652976286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15972575--0.15962988) × cos(-0.46165533) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895316389596988 × 6371000     		du = 546.848301046384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46156949)-sin(-0.46165533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895354622074862-0.895316389596988)×R²
    abs(-0.15962988--0.15972575)×3.8232477873934e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8232477873934e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8232477873934e-05×40589641000000     		ar = 299070.415561607m²