Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31101 / 6789
↖ ↑ ↗
← N 71.948374°
E161.685791°		 ← 378.53 m → N 71.948374°
E161.696777°		 →
↑
378.56 m
↓
↑
378.56 m
↓
N 71.944969°
E161.685791°		 ← 378.60 m →
143 313 m²		 N 71.944969°
E161.696777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949142456054688 y=0.207199096679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949142456054688 × 215)
    floor (0.949142456054688 × 32768)
    floor (31101.5)     		tx = 31101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207199096679688 × 215)
    floor (0.207199096679688 × 32768)
    floor (6789.5)     		ty = 6789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31101 / 6789 ti = "15/31101/6789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31101/6789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31101 ÷ 215
    31101 ÷ 32768     		x = 0.949127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6789 ÷ 215
    6789 ÷ 32768     		y = 0.207183837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949127197265625 × 2 - 1) × π
    0.89825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82194941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207183837890625 × 2 - 1) × π
    0.58563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83981820741776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82194941} λ = 2.82194941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83981820741776))-π/2
    2×atan(6.29539370111638)-π/2
    2×1.4132661685836-π/2
    2.8265323371672-1.57079632675     		φ = 1.25573601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82194941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.685791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25573601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.948374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31101 KachelY 6789 2.82194941 1.25573601 161.685791 71.948374
    Oben rechts KachelX + 1 31102 KachelY 6789 2.82214115 1.25573601 161.696777 71.948374
    Unten links KachelX 31101 KachelY + 1 6790 2.82194941 1.25567659 161.685791 71.944969
    Unten rechts KachelX + 1 31102 KachelY + 1 6790 2.82214115 1.25567659 161.696777 71.944969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25573601-1.25567659) × R
    5.94199999999212e-05 × 6371000     		dl = 378.564819999498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25573601-1.25567659) × R
    5.94199999999212e-05 × 6371000     		dr = 378.564819999498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82194941-2.82214115) × cos(1.25573601) × R
    0.000191739999999996 × 0.309873819654169 × 6371000     		do = 378.534278575896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82194941-2.82214115) × cos(1.25567659) × R
    0.000191739999999996 × 0.309930314317437 × 6371000     		du = 378.603291074685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25573601)-sin(1.25567659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309873819654169-0.309930314317437)×R²
    abs(2.82214115-2.82194941)×5.64946632679586e-05×R²
    0.000191739999999996×5.64946632679586e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.64946632679586e-05×40589641000000     		ar = 143312.823927265m²