Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31100 / 19164
↖ ↑ ↗
← N 59.634435°
W  9.162598°		 ← 308.79 m → N 59.634435°
W  9.157104°		 →
↑
308.80 m
↓
↑
308.80 m
↓
N 59.631657°
W  9.162598°		 ← 308.82 m →
95 361 m²		 N 59.631657°
W  9.157104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474555969238281 y=0.292427062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474555969238281 × 216)
    floor (0.474555969238281 × 65536)
    floor (31100.5)     		tx = 31100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292427062988281 × 216)
    floor (0.292427062988281 × 65536)
    floor (19164.5)     		ty = 19164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31100 / 19164 ti = "16/31100/19164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31100/19164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31100 ÷ 216
    31100 ÷ 65536     		x = 0.47454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19164 ÷ 216
    19164 ÷ 65536     		y = 0.29241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.0509033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15991750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29241943359375 × 2 - 1) × π
    0.4151611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30426716486249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15991750} λ = -0.15991750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30426716486249))-π/2
    2×atan(3.68498761555089)-π/2
    2×1.30580677883703-π/2
    2.61161355767407-1.57079632675     		φ = 1.04081723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15991750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.162598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04081723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.634435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31100 KachelY 19164 -0.15991750 1.04081723 -9.162598 59.634435
    Oben rechts KachelX + 1 31101 KachelY 19164 -0.15982162 1.04081723 -9.157104 59.634435
    Unten links KachelX 31100 KachelY + 1 19165 -0.15991750 1.04076876 -9.162598 59.631657
    Unten rechts KachelX + 1 31101 KachelY + 1 19165 -0.15982162 1.04076876 -9.157104 59.631657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04081723-1.04076876) × R
    4.84700000000782e-05 × 6371000     		dl = 308.802370000498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04081723-1.04076876) × R
    4.84700000000782e-05 × 6371000     		dr = 308.802370000498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15991750--0.15982162) × cos(1.04081723) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.505515305661244 × 6371000     		do = 308.794772625799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15991750--0.15982162) × cos(1.04076876) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.505557125838308 × 6371000     		du = 308.820318542853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04081723)-sin(1.04076876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505515305661244-0.505557125838308)×R²
    abs(-0.15982162--0.15991750)×4.18201770640003e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.18201770640003e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.18201770640003e-05×40589641000000     		ar = 95360.5019693743m²