Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3110 / 3298
↖ ↑ ↗
← N 33.063924°
W 43.330078°		 ← 4 095.19 m → N 33.063924°
W 43.286133°		 →
↑
4 096.04 m
↓
↑
4 096.04 m
↓
N 33.027088°
W 43.330078°		 ← 4 096.90 m →
16 777 570 m²		 N 33.027088°
W 43.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37969970703125 y=0.40264892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37969970703125 × 213)
    floor (0.37969970703125 × 8192)
    floor (3110.5)     		tx = 3110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40264892578125 × 213)
    floor (0.40264892578125 × 8192)
    floor (3298.5)     		ty = 3298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3110 / 3298 ti = "13/3110/3298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3110/3298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3110 ÷ 213
    3110 ÷ 8192     		x = 0.379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3298 ÷ 213
    3298 ÷ 8192     		y = 0.402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.24072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75625253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402587890625 × 2 - 1) × π
    0.19482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.612058334348877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75625253} λ = -0.75625253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.612058334348877))-π/2
    2×atan(1.84422352333776)-π/2
    2×1.07393533383363-π/2
    2.14787066766727-1.57079632675     		φ = 0.57707434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75625253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57707434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.063924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3110 KachelY 3298 -0.75625253 0.57707434 -43.330078 33.063924
    Oben rechts KachelX + 1 3111 KachelY 3298 -0.75548554 0.57707434 -43.286133 33.063924
    Unten links KachelX 3110 KachelY + 1 3299 -0.75625253 0.57643142 -43.330078 33.027088
    Unten rechts KachelX + 1 3111 KachelY + 1 3299 -0.75548554 0.57643142 -43.286133 33.027088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57707434-0.57643142) × R
    0.000642919999999991 × 6371000     		dl = 4096.04331999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57707434-0.57643142) × R
    0.000642919999999991 × 6371000     		dr = 4096.04331999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75625253--0.75548554) × cos(0.57707434) × R
    0.000766990000000023 × 0.83806239949602 × 6371000     		do = 4095.18629173872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75625253--0.75548554) × cos(0.57643142) × R
    0.000766990000000023 × 0.838412986953479 × 6371000     		du = 4096.89943499715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57707434)-sin(0.57643142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83806239949602-0.838412986953479)×R²
    abs(-0.75548554--0.75625253)×0.000350587457458529×R²
    0.000766990000000023×0.000350587457458529×6371000²
    0.000766990000000023×0.000350587457458529×40589641000000     		ar = 16777569.5868464m²