Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 311 / 555
↖ ↑ ↗
← N 63.312683°
W125.332031°		 ← 8 778.51 m → N 63.312683°
W125.156250°		 →
↑
8 790.51 m
↓
↑
8 790.51 m
↓
N 63.233628°
W125.332031°		 ← 8 802.60 m →
77 273 519 m²		 N 63.233628°
W125.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152099609375 y=0.271240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152099609375 × 211)
    floor (0.152099609375 × 2048)
    floor (311.5)     		tx = 311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271240234375 × 211)
    floor (0.271240234375 × 2048)
    floor (555.5)     		ty = 555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 311 / 555 ti = "11/311/555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/311/555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 311 ÷ 211
    311 ÷ 2048     		x = 0.15185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 555 ÷ 211
    555 ÷ 2048     		y = 0.27099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15185546875 × 2 - 1) × π
    -0.6962890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.18745660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27099609375 × 2 - 1) × π
    0.4580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43887397899561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18745660} λ = -2.18745660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43887397899561))-π/2
    2×atan(4.21594589960871)-π/2
    2×1.33790554978287-π/2
    2.67581109956573-1.57079632675     		φ = 1.10501477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18745660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.332031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10501477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.312683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 311 KachelY 555 -2.18745660 1.10501477 -125.332031 63.312683
    Oben rechts KachelX + 1 312 KachelY 555 -2.18438864 1.10501477 -125.156250 63.312683
    Unten links KachelX 311 KachelY + 1 556 -2.18745660 1.10363500 -125.332031 63.233628
    Unten rechts KachelX + 1 312 KachelY + 1 556 -2.18438864 1.10363500 -125.156250 63.233628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10501477-1.10363500) × R
    0.00137977 × 6371000     		dl = 8790.51467000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10501477-1.10363500) × R
    0.00137977 × 6371000     		dr = 8790.51467000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18745660--2.18438864) × cos(1.10501477) × R
    0.00306796000000009 × 0.449121236737269 × 6371000     		do = 8778.51163885293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18745660--2.18438864) × cos(1.10363500) × R
    0.00306796000000009 × 0.450353593075369 × 6371000     		du = 8802.59924276099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10501477)-sin(1.10363500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449121236737269-0.450353593075369)×R²
    abs(-2.18438864--2.18745660)×0.00123235633810026×R²
    0.00306796000000009×0.00123235633810026×6371000²
    0.00306796000000009×0.00123235633810026×40589641000000     		ar = 77273518.8190856m²