Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 311 / 445
↖ ↑ ↗
← N 70.786910°
W125.332031°		 ← 6 432.24 m → N 70.786910°
W125.156250°		 →
↑
6 441.53 m
↓
↑
6 441.53 m
↓
N 70.728980°
W125.332031°		 ← 6 450.89 m →
41 493 518 m²		 N 70.728980°
W125.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152099609375 y=0.217529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152099609375 × 211)
    floor (0.152099609375 × 2048)
    floor (311.5)     		tx = 311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217529296875 × 211)
    floor (0.217529296875 × 2048)
    floor (445.5)     		ty = 445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 311 / 445 ti = "11/311/445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/311/445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 311 ÷ 211
    311 ÷ 2048     		x = 0.15185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 445 ÷ 211
    445 ÷ 2048     		y = 0.21728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15185546875 × 2 - 1) × π
    -0.6962890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.18745660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21728515625 × 2 - 1) × π
    0.5654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7763497523208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18745660} λ = -2.18745660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7763497523208))-π/2
    2×atan(5.90825043155362)-π/2
    2×1.40313048540957-π/2
    2.80626097081914-1.57079632675     		φ = 1.23546464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18745660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.332031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23546464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.786910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 311 KachelY 445 -2.18745660 1.23546464 -125.332031 70.786910
    Oben rechts KachelX + 1 312 KachelY 445 -2.18438864 1.23546464 -125.156250 70.786910
    Unten links KachelX 311 KachelY + 1 446 -2.18745660 1.23445357 -125.332031 70.728980
    Unten rechts KachelX + 1 312 KachelY + 1 446 -2.18438864 1.23445357 -125.156250 70.728980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23546464-1.23445357) × R
    0.00101107000000011 × 6371000     		dl = 6441.52697000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23546464-1.23445357) × R
    0.00101107000000011 × 6371000     		dr = 6441.52697000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18745660--2.18438864) × cos(1.23546464) × R
    0.00306796000000009 × 0.329082400211873 × 6371000     		do = 6432.23576196984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18745660--2.18438864) × cos(1.23445357) × R
    0.00306796000000009 × 0.330036986468592 × 6371000     		du = 6450.89407932258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23546464)-sin(1.23445357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329082400211873-0.330036986468592)×R²
    abs(-2.18438864--2.18745660)×0.000954586256719292×R²
    0.00306796000000009×0.000954586256719292×6371000²
    0.00306796000000009×0.000954586256719292×40589641000000     		ar = 41493517.7001197m²