Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31099 / 19165
↖ ↑ ↗
← N 59.631657°
W  9.168091°		 ← 308.79 m → N 59.631657°
W  9.162598°		 →
↑
308.80 m
↓
↑
308.80 m
↓
N 59.628880°
W  9.168091°		 ← 308.81 m →
95 358 m²		 N 59.628880°
W  9.162598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474540710449219 y=0.292442321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474540710449219 × 216)
    floor (0.474540710449219 × 65536)
    floor (31099.5)     		tx = 31099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292442321777344 × 216)
    floor (0.292442321777344 × 65536)
    floor (19165.5)     		ty = 19165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31099 / 19165 ti = "16/31099/19165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31099/19165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31099 ÷ 216
    31099 ÷ 65536     		x = 0.474533081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19165 ÷ 216
    19165 ÷ 65536     		y = 0.292434692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474533081054688 × 2 - 1) × π
    -0.050933837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16001337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292434692382812 × 2 - 1) × π
    0.415130615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30417129106325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16001337} λ = -0.16001337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30417129106325))-π/2
    2×atan(3.6846343387233)-π/2
    2×1.3057825449983-π/2
    2.61156508999659-1.57079632675     		φ = 1.04076876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16001337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.168091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04076876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.631657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31099 KachelY 19165 -0.16001337 1.04076876 -9.168091 59.631657
    Oben rechts KachelX + 1 31100 KachelY 19165 -0.15991750 1.04076876 -9.162598 59.631657
    Unten links KachelX 31099 KachelY + 1 19166 -0.16001337 1.04072029 -9.168091 59.628880
    Unten rechts KachelX + 1 31100 KachelY + 1 19166 -0.15991750 1.04072029 -9.162598 59.628880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04076876-1.04072029) × R
    4.84699999998561e-05 × 6371000     		dl = 308.802369999083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04076876-1.04072029) × R
    4.84699999998561e-05 × 6371000     		dr = 308.802369999083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16001337--0.15991750) × cos(1.04076876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.505557125838308 × 6371000     		do = 308.788109498383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16001337--0.15991750) × cos(1.04072029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.505598944827645 × 6371000     		du = 308.813652025624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04076876)-sin(1.04072029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505557125838308-0.505598944827645)×R²
    abs(-0.15991750--0.16001337)×4.18189893377496e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18189893377496e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18189893377496e-05×40589641000000     		ar = 95358.4438557372m²