Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31098 / 37790
↖ ↑ ↗
← S 26.578703°
W  9.173584°		 ← 546.24 m → S 26.578703°
W  9.168091°		 →
↑
546.25 m
↓
↑
546.25 m
↓
S 26.583615°
W  9.173584°		 ← 546.22 m →
298 377 m²		 S 26.583615°
W  9.168091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474525451660156 y=0.576637268066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474525451660156 × 216)
    floor (0.474525451660156 × 65536)
    floor (31098.5)     		tx = 31098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576637268066406 × 216)
    floor (0.576637268066406 × 65536)
    floor (37790.5)     		ty = 37790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31098 / 37790 ti = "16/31098/37790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31098/37790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31098 ÷ 216
    31098 ÷ 65536     		x = 0.474517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37790 ÷ 216
    37790 ÷ 65536     		y = 0.576629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.05096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16010924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.15325927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.481478219783844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16010924} λ = -0.16010924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481478219783844))-π/2
    2×atan(0.617869369683689)-π/2
    2×0.553455230652056-π/2
    1.10691046130411-1.57079632675     		φ = -0.46388587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16010924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.173584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46388587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.578703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31098 KachelY 37790 -0.16010924 -0.46388587 -9.173584 -26.578703
    Oben rechts KachelX + 1 31099 KachelY 37790 -0.16001337 -0.46388587 -9.168091 -26.578703
    Unten links KachelX 31098 KachelY + 1 37791 -0.16010924 -0.46397161 -9.173584 -26.583615
    Unten rechts KachelX + 1 31099 KachelY + 1 37791 -0.16001337 -0.46397161 -9.168091 -26.583615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46388587--0.46397161) × R
    8.57400000000008e-05 × 6371000     		dl = 546.249540000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46388587--0.46397161) × R
    8.57400000000008e-05 × 6371000     		dr = 546.249540000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16010924--0.16001337) × cos(-0.46388587) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.89432061205525 × 6371000     		do = 546.240092302408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16010924--0.16001337) × cos(-0.46397161) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.894282246403672 × 6371000     		du = 546.216659031636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46388587)-sin(-0.46397161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89432061205525-0.894282246403672)×R²
    abs(-0.16001337--0.16010924)×3.83656515776654e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.83656515776654e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.83656515776654e-05×40589641000000     		ar = 298376.999125855m²