Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31097 / 37791
↖ ↑ ↗
← S 26.583615°
W  9.179077°		 ← 546.27 m → S 26.583615°
W  9.173584°		 →
↑
546.19 m
↓
↑
546.19 m
↓
S 26.588527°
W  9.179077°		 ← 546.25 m →
298 361 m²		 S 26.588527°
W  9.173584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474510192871094 y=0.576652526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474510192871094 × 216)
    floor (0.474510192871094 × 65536)
    floor (31097.5)     		tx = 31097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576652526855469 × 216)
    floor (0.576652526855469 × 65536)
    floor (37791.5)     		ty = 37791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31097 / 37791 ti = "16/31097/37791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31097/37791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31097 ÷ 216
    31097 ÷ 65536     		x = 0.474502563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37791 ÷ 216
    37791 ÷ 65536     		y = 0.576644897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474502563476562 × 2 - 1) × π
    -0.050994873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16020512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576644897460938 × 2 - 1) × π
    -0.153289794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.481574093583084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16020512} λ = -0.16020512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481574093583084))-π/2
    2×atan(0.617810135039354)-π/2
    2×0.553412360614097-π/2
    1.10682472122819-1.57079632675     		φ = -0.46397161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16020512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.179077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46397161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.583615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31097 KachelY 37791 -0.16020512 -0.46397161 -9.179077 -26.583615
    Oben rechts KachelX + 1 31098 KachelY 37791 -0.16010924 -0.46397161 -9.173584 -26.583615
    Unten links KachelX 31097 KachelY + 1 37792 -0.16020512 -0.46405734 -9.179077 -26.588527
    Unten rechts KachelX + 1 31098 KachelY + 1 37792 -0.16010924 -0.46405734 -9.173584 -26.588527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46397161--0.46405734) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dl = 546.185830000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46397161--0.46405734) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dr = 546.185830000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16020512--0.16010924) × cos(-0.46397161) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894282246403672 × 6371000     		do = 546.273633753366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16020512--0.16010924) × cos(-0.46405734) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894243878653715 × 6371000     		du = 546.25019675652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46397161)-sin(-0.46405734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894282246403672-0.894243878653715)×R²
    abs(-0.16010924--0.16020512)×3.83677499569135e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.83677499569135e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.83677499569135e-05×40589641000000     		ar = 298360.517763556m²