Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31096 / 19848
↖ ↑ ↗
← N 57.680660°
W  9.184570°		 ← 326.55 m → N 57.680660°
W  9.179077°		 →
↑
326.58 m
↓
↑
326.58 m
↓
N 57.677723°
W  9.184570°		 ← 326.58 m →
106 648 m²		 N 57.677723°
W  9.179077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474494934082031 y=0.302864074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474494934082031 × 216)
    floor (0.474494934082031 × 65536)
    floor (31096.5)     		tx = 31096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302864074707031 × 216)
    floor (0.302864074707031 × 65536)
    floor (19848.5)     		ty = 19848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31096 / 19848 ti = "16/31096/19848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31096/19848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31096 ÷ 216
    31096 ÷ 65536     		x = 0.4744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19848 ÷ 216
    19848 ÷ 65536     		y = 0.3028564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3028564453125 × 2 - 1) × π
    0.394287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23868948618225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16030099} λ = -0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23868948618225))-π/2
    2×atan(3.45108780168802)-π/2
    2×1.28875687950949-π/2
    2.57751375901899-1.57079632675     		φ = 1.00671743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00671743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.680660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31096 KachelY 19848 -0.16030099 1.00671743 -9.184570 57.680660
    Oben rechts KachelX + 1 31097 KachelY 19848 -0.16020512 1.00671743 -9.179077 57.680660
    Unten links KachelX 31096 KachelY + 1 19849 -0.16030099 1.00666617 -9.184570 57.677723
    Unten rechts KachelX + 1 31097 KachelY + 1 19849 -0.16020512 1.00666617 -9.179077 57.677723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00671743-1.00666617) × R
    5.12599999999974e-05 × 6371000     		dl = 326.577459999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00671743-1.00666617) × R
    5.12599999999974e-05 × 6371000     		dr = 326.577459999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16030099--0.16020512) × cos(1.00671743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534637635722644 × 6371000     		do = 326.550129281099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16030099--0.16020512) × cos(1.00666617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534680953893569 × 6371000     		du = 326.576587490119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00671743)-sin(1.00666617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534637635722644-0.534680953893569)×R²
    abs(-0.16020512--0.16030099)×4.33181709251773e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33181709251773e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33181709251773e-05×40589641000000     		ar = 106648.232133978m²