Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31094 / 20114
↖ ↑ ↗
← N 56.891003°
W  9.195557°		 ← 333.63 m → N 56.891003°
W  9.190064°		 →
↑
333.65 m
↓
↑
333.65 m
↓
N 56.888003°
W  9.195557°		 ← 333.66 m →
111 321 m²		 N 56.888003°
W  9.190064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474464416503906 y=0.306922912597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474464416503906 × 216)
    floor (0.474464416503906 × 65536)
    floor (31094.5)     		tx = 31094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306922912597656 × 216)
    floor (0.306922912597656 × 65536)
    floor (20114.5)     		ty = 20114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31094 / 20114 ti = "16/31094/20114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31094/20114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31094 ÷ 216
    31094 ÷ 65536     		x = 0.474456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20114 ÷ 216
    20114 ÷ 65536     		y = 0.306915283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.05108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16049274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306915283203125 × 2 - 1) × π
    0.38616943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21318705558438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16049274} λ = -0.16049274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21318705558438))-π/2
    2×atan(3.36418944385953)-π/2
    2×1.28186582458626-π/2
    2.56373164917252-1.57079632675     		φ = 0.99293532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16049274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.195557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99293532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.891003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31094 KachelY 20114 -0.16049274 0.99293532 -9.195557 56.891003
    Oben rechts KachelX + 1 31095 KachelY 20114 -0.16039687 0.99293532 -9.190064 56.891003
    Unten links KachelX 31094 KachelY + 1 20115 -0.16049274 0.99288295 -9.195557 56.888003
    Unten rechts KachelX + 1 31095 KachelY + 1 20115 -0.16039687 0.99288295 -9.190064 56.888003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99293532-0.99288295) × R
    5.23699999999128e-05 × 6371000     		dl = 333.649269999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99293532-0.99288295) × R
    5.23699999999128e-05 × 6371000     		dr = 333.649269999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16049274--0.16039687) × cos(0.99293532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.546233496547455 × 6371000     		do = 333.632739255515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16049274--0.16039687) × cos(0.99288295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.546277362636232 × 6371000     		du = 333.659532126058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99293532)-sin(0.99288295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546233496547455-0.546277362636232)×R²
    abs(-0.16039687--0.16049274)×4.38660887769338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38660887769338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38660887769338e-05×40589641000000     		ar = 111320.78963665m²