Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31092 / 17572
↖ ↑ ↗
← N 63.772777°
W  9.206543°		 ← 269.95 m → N 63.772777°
W  9.201050°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
N 63.770350°
W  9.206543°		 ← 269.98 m →
72 875 m²		 N 63.770350°
W  9.201050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474433898925781 y=0.268135070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474433898925781 × 216)
    floor (0.474433898925781 × 65536)
    floor (31092.5)     		tx = 31092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268135070800781 × 216)
    floor (0.268135070800781 × 65536)
    floor (17572.5)     		ty = 17572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31092 / 17572 ti = "16/31092/17572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31092/17572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31092 ÷ 216
    31092 ÷ 65536     		x = 0.47442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17572 ÷ 216
    17572 ÷ 65536     		y = 0.26812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.0511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16068449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26812744140625 × 2 - 1) × π
    0.4637451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45689825325275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16068449} λ = -0.16068449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45689825325275))-π/2
    2×atan(4.2926242244435)-π/2
    2×1.34192063171679-π/2
    2.68384126343357-1.57079632675     		φ = 1.11304494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16068449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.206543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11304494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.772777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31092 KachelY 17572 -0.16068449 1.11304494 -9.206543 63.772777
    Oben rechts KachelX + 1 31093 KachelY 17572 -0.16058861 1.11304494 -9.201050 63.772777
    Unten links KachelX 31092 KachelY + 1 17573 -0.16068449 1.11300257 -9.206543 63.770350
    Unten rechts KachelX + 1 31093 KachelY + 1 17573 -0.16058861 1.11300257 -9.201050 63.770350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11304494-1.11300257) × R
    4.23700000000693e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11304494-1.11300257) × R
    4.23700000000693e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16068449--0.16058861) × cos(1.11304494) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.44193211082672 × 6371000     		do = 269.954883958083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16068449--0.16058861) × cos(1.11300257) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.441970118374926 × 6371000     		du = 269.978100925156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11304494)-sin(1.11300257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44193211082672-0.441970118374926)×R²
    abs(-0.16058861--0.16068449)×3.80075482060982e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.80075482060982e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.80075482060982e-05×40589641000000     		ar = 72874.5579052848m²